Mathematische Grundlagen für Physik III (SS 01)

Wahrscheinlichkeitsrechnung

1)

Bei einem dreigängigen Menü kann aus zwei Vorspeisen, drei Hauptspeisen und zwei Nachspeisen gewählt werden. Wieviele Wahlmöglichkeiten gibt es?

2*3*6

2)

Wenn ein Verein 100 Mitglieder zählt, wieviele Möglichkeiten einen Vorstand bestehend aus President, Vizepresident und Kassier zu wählen gibt es?

Binomial[100, 3]

3)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim Lotto 6 aus 45 einen 6er, 5er, 4er oder 3er zu tippen?

Binomial[45, {6, 5, 4, 3}]^(-1)

N[%]

4)

Ein Tipp beim Lotto 6 aus 45 koste 1 Euro und bei einem 6er erhalten Sie 100.000 Euro? Wie hoch ist der zu erwartende Gewinn bei einem Tipp? Wie hoch ist die Standardabweichung?

p =  N[Binomial[45, 6]^(-1)];  q =  1 - p; Gewinn = (10^5) - 1; 
    Einsatz = -1;

{μ = 
        p*Gewinn  +  
          q *Einsatz, σ = (Sqrt[(((Gewinn  - μ))^2) p +  (((Einsatz  - μ))^2) q])}

5)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß bei einer Party mit 25 Gästen mindestens zwei am gleichen Tag Geburtstag haben? (Sie können annehmen das ein Jahr 365 Tage hat.)

n = 365; k = 25;

1 - ((n!)/((n^k) (n - k)!)) // N

6)

Beim Roulett gibt es 18 schwarze und 18 rote Felder plus die Null. Sie setzen jede Runde 100 Euro auf schwarz. Wie hoch ist der zu erwartende Gewinn bei 100 Runden? Wie hoch ist die Standardabweichung σ?

p = (18. /37);  q = 1 - p;  Einsatz = -100;  Gewinn = 100; 
    n = 100;

{μ = 
        p*Gewinn  +  
          q *Einsatz, σ = (Sqrt[(((Gewinn  - μ))^2) p +  (((Einsatz  - μ))^2) q])}

{ μ, (σ/(Sqrt[n]))}

Clear[n]

7)

Gleiche Situation wie oben. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit daß Sie einen (positiven) Gewinn machen.
Schätzen Sie dieselbe Wahrscheinlichkeit mit Hilfe der Chebyshev-Ungleichung ab. Betrachten Sie einmal
100 und einmal 2000 Runden.

BD[n_, x_] := Binomial[n, x] (p^x) (q^(n - x));

P[n_] := (∑_(j = Floor[(n/2) + 1])^n)BD[n, 
          j]

{P[n], (1/n) ((((σ/μ)))^2)}  /.  
      n ->  100

{P[n], (1/n) ((((σ/μ)))^2)}  /.  
      n ->  2000

8)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim Lotto 6 aus 45 daß es bei zehn Millionen abgegebenen Tips mindestens einen 6er, genau einen 6er,  mehr als einen 6er gibt?

p =  N[Binomial[45, 6]^(-1)];  q =  1 - p; 
    n = (10^7);
BD[n_, x_] := Binomial[n, x] (p^x) (q^(n - x));

1 - BD[n, 0]

BD[n, 1]

1 - BD[n, 0] - BD[n, 1]

9)

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Höhe h eines Gasmoleküls sei f(h)=A (e^(-α h)) mit h ∈ [0, ∞). Können A und α unabhängig gewählt werden? Wie lautet der Erwartungswert und die Standardabweichung für die Höhe eines Moleküls?

f[h_] :=  A (E^(- α h))

Simplify[
        Solve[(∫_0^∞) f[h] \[DifferentialD]h == 
            1 ,  A],  α > 0]  // Flatten

f[h_] =  (f[h]  /.  %)

μ=Simplify[(∫_0^∞) 
            h f[h] \[DifferentialD]h,  α > 0]

σ=Simplify[(Sqrt[(∫_0^∞)(((h  - μ))^2) f[h] \[DifferentialD]h]),  α > 0]

10)

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Ort eines quantenmechanischen Teilchens wird beschrieben durch das Betragsquadrat \(TraditionalForm\`\(\(|\)\(ψ(x)\)\( | \^2\)\)\) der Wellenfuktion.  Für ein Teilchen im Interval [0, π] ist die Wellenfunktion des niedrigsten Energiezustand gegeben durch ψ(x)=A sin(x). Wie lautet der Erwartungswert und die Standardabweichung für den Ort des Teilchens?

ψ[x_] :=  A Sin[x]

Solve[(∫_0^π) ψ[
                    x]^2 \[DifferentialD]x == 1 ,  
        A][[2]]

ψ[x_] =  (ψ[x]  /.  %)

μ = (∫_0^π) 
          x ψ[x]^2 \[DifferentialD]x

σ = 
      Simplify[(Sqrt[(∫_0^π)(((x  - μ))^2) ψ[x]^2 \[DifferentialD]x])]

11)

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten von 8) mit der Normalverteilung anstelle der Binomialverteilung und vergleichen Sie die Ergebnisse.

p =  N[Binomial[45, 6]^(-1)];  q =  1 - p; 
    n = (10^7);
BD[n_, x_] := 
        Binomial[n, x] (p^x) (q^(n - x));
μ = n p; σ = (Sqrt[n p q]);
ND[n_, 
          x_] := (1/((Sqrt[2  π]) σ)) (E^(-((((x - μ))^2)/(2  (σ^2)))));

1-{BD[n, 0], ND[n, 0]}

{BD[n, 1], ND[n, 1]}

1-{BD[n, 0], ND[n, 0]} -{BD[n, 1], 
        ND[n, 1]}

Skalarprodukt unf Fourierreihen

1)

Normieren Sie folgende Vektoren und untersuchen Sie ob sie ein Orthonormalsystem (ONS) bilden.

a = {1, 2, 3};  b = {-2, 1, 0}; c = {3, 6, -5};

{(Sqrt[a . a]), (Sqrt[b . b]), (Sqrt[c . c])}

{a . b, a . c, b . c}

{u1, u2, u3} = {(a/(Sqrt[a . a])), (b/(Sqrt[b . b])), 
        (c/(Sqrt[c . c]))}

a = {1, 4, 3};  b = {-3, 0, 1}; c = {3, 1, -5};

{(Sqrt[a . a]), (Sqrt[b . b]), (Sqrt[c . c])}

{a . b, a . c, b . c}

Clear[a, b, c]

2)

Weisen Sie die Parallelogrammgleichung nach: \(TraditionalForm\`‖a + b‖\^2 + ‖a - b‖\^2 = \ 
        2\ ‖a‖\^2\  + \ 
          2\ ‖b‖\^2\)

3)

Entwickeln Sie folgende Vektoren nach allen ONS aus Aufgabe 1):

d = {3, 2, 1};

(u1 . d) u1  +  (u2 . d) u2  +  (u3 . d) u3 // 
      Simplify

d = {1, 1, 1};

(u1 . d) u1  +  (u2 . d) u2  +  (u3 . d) u3 // 
      Simplify

Clear[d, u1, u2, u3]

4)

Sei V der Vektorraum aller Polynome vom Grad maximal 2 mit dem Skalarprodukt ⟨p, q⟩=\(∫\_0\%1\(\( p(x)\)\^*\) \(q(
                  x)\) dx\). Bilden folgende Vektoren ein ONS? Wie kann es zu einem gemacht werden?

p[x_] := (x^2) - 1;  q[x_] = 8  x  - 3;

Sp[p_, q_] := (∫_0^1) p q \[DifferentialD]x; 
    Nr[p_] := (Sqrt[Sp])[p, p];

{Sp[p[x], q[x]], Nr[p[x]], Nr[q[x]]}

{u1[x_], u2[x_]} = {p[x]/Nr[p[x]], q[x]/Nr[q[x]]}

5)

Sei V der Vektorraum aller Polynome vom Grad maximal 2 wie in 4). Entwickeln Sie das folgendes Polynom nach dem ONS aus Aufgabe 4).

r[x_] :=  1;

rr[x_] = 
      Sp[u1[x], r[x]] u1[x] + Sp[u2[x], r[x]] u2[x] // Simplify

{Sp[u1[x], r[x] - rr[x]], Sp[u2[x], r[x] - rr[x]]}

Clear[p, q, r, rr]

6)

Sei V der Vektorraum aller Polynome vom Grad maximal 2 wie in 4). Zeigen Sie daß folgende Vektoren eine Basis bilden. Bilden sie auch ein ONS? Wenn nein, finden Sie eine Orthonormalbasis (ONB).

p[x_] :=  1; q[x_] := x;  r[x_] = (x^2);

{Sp[p[x], q[x]], Sp[p[x], r[x]], Sp[q[x], r[x]]}

(Subscript[u, 1])[x_] = p[x]/Nr[p[x]]

(Subscript[u, 2])[
        x_] = ((q[x]  - Sp[u1[x], q[x]] u1[x])/Nr)[q[x]  - Sp[u1[x], q[x]] u1[x]] // Simplify

(Subscript[u, 3])[
        x_] = ((r[x]  - Sp[u1[x], r[x]] u1[x] - Sp[u2[x], r[x]] u2[x])/Nr)[r[x]  - Sp[u1[x], r[x]] u1[x] - Sp[u2[x], r[x]] u2[x]] // 
        Simplify

{Sp[u1[x], u2[x]], Sp[u1[x], u3[x]], Sp[u2[x], u3[x]]}

7)

Gleiche Angaben wie in 6). Betrachten Sie den Operator der jedem Polynom seine Ableitung zuordnet. Ist dieser Operator linear? Ist er symmetrisch? Finden Sie seine Matrixdarstellung in der Basis von Aufgabe 6).

A[p_] := D[p, x];

\(Array[Sp[u\_#1[x], A[u\_#2[x]]] &, {3, 3}]\  // MatrixForm\)

8)

Gleiche Angaben wie in 6). Betrachten Sie den Operator der bei jedem Polynom den Koeffizient von (x^2)zu Null macht. Ist dieser Operator linear? Ist er symmetrisch? Finden Sie seine Matrixdarstellung in der Basis von Aufgabe 6).

A[p_] :=  
        Block[{cl}, 
cl = 
            PadRight[CoefficientList[ p, x ], 
              3]; 
(∑_(j = 0)^1) 
                cl[[j + 1]] (x^j)];

\(Array[Sp[u\_#1[x], A[u\_#2[x]]] &, {3, 3}]\  // MatrixForm\)

9)

Zeigen Sie daß der Operators -((d^2)/(dx^2))auf dem Intervall (-π,π) mit periodischen Randbedingungen u(-π) = u(π), \(TraditionalForm\`u' \((\(-π\))\) = \(\(u'\) \((π)\)\(\ \)\)\)bezüglich des Skalarproduktes ⟨f, g⟩=\(∫\_0\%1\(\( f(x)\)\^*\) \(g(
                  x)\) dx\) symmetrisch ist.Bestimmen Sie Eigenwerte und normierte Eigenfunktionen.

DSolve[-u''[x] == λ u[x], u[x], x]

Simplify[(∫_(-π)^π) Cos[
                (n^2) x ]^2 \[DifferentialD]x, 
      n ∈ Integers]

Simplify[(∫_(-π)^π) Sin[
                (n^2) x ]^2 \[DifferentialD]x, 
      n ∈ Integers]

10)

Berechnen Sie die Fourierreihen von folgenden Funktionen:

f[x_] := If[x > 0, 1, -1];

Plot[f[t], {t, -π, π}];

g[x_] := Abs[x];

Plot[g[t], {t, -π, π}];

<<Calculus`FourierTransform`

FourierTrigSeries[f[t], t, 3, 
        FourierParameters -> {0, (1/(2  π))}] // 
      Simplify

FullSimplify[(2/π) (∫_0^π) f[x] Sin[
              n x] \[DifferentialD]x, n ∈ Integers]

%  /.  n -> {1, 2, 3}

FourierTrigSeries[g[t], t, 3, 
        FourierParameters -> {0, (1/(2  π))}] // 
      Simplify

(1/π) (∫_0^π) g[
            x] \[DifferentialD]x

FullSimplify[(2/π) (∫_0^π) g[x] Cos[
              n x] \[DifferentialD]x, n ∈ Integers]

%  /.  n -> {1, 2, 3}

11)

Berechnen Sie die Fouriertransformation von folgender Funktion:

f[x_] := If[Abs[x] < 1, 1, 0];

Plot[f[t], {t, -3, 3}];

(1/π) (∫_(-∞)^∞) f[
            x] Cos[ω x] \[DifferentialD]x

(1/(2  π)) (∫_(-∞)^∞) f[
              x] (E^(I ω x)) \[DifferentialD]x  // FullSimplify

Koordinatentransformationen und Matrizen

1)

Gegeben seien folgende Matrizen:

Unprotect[C];

A=(({{1, 2}, {3, 4}})); B=(({{4, 2}, {3, 1}}));C=(({{0, 1}, {1, 0}}));

Berechnen Sie A - 3  B,  AB,  BA,  (AB) C,  A(BC).

A - 3  B  // MatrixForm

A . B  // MatrixForm

B . A // MatrixForm

A . B . C // MatrixForm

2)

Sei U(α) die Drehmatrix

U[α_]:=(({{Cos[α], Sin[α]}, {-Sin[α], Cos[α]}}))

Zeigen Sie ((U(α))^T)U(α)= 1und U(α) U(β) = 
        U(α + β).

U[α] . Transpose[U[α]] // Simplify // 
      MatrixForm

U[α] . U[β] // Simplify // MatrixForm

3)

Finde die inverse Matrix zu folgenden Matrizen. Berechne ihre Spur und Determinante.

A=(({{1, 0}, {0, 4}})); B=(({{4, 2}, {1, 1}}));

Inverse[A]  // MatrixForm

Inverse[B]  // MatrixForm

{Det[A], Tr[A], Det[B], Tr[B]}

4)

Sind folgenden Matrizen symmetrisch, schief-symmetrisch, orthogonal, singulär?

Unprotect[C];

A=(({{(1/2), 0}, {0, 2}})); B=(({{0, 1}, {-1, 0}}));C=(({{0, 1}, {0, 1}}));

{Transpose[A] == A, Transpose[A] == -A, 
      A . Transpose[A] == IdentityMatrix[2], 
      Det[A] == 0}

{Transpose[B] == B, Transpose[B] == -B, 
      B . Transpose[B] == IdentityMatrix[2], 
      Det[B] == 0}

{Transpose[C] == B, Transpose[C] == -C, 
      C . Transpose[C] == IdentityMatrix[2], 
      Det[C] == 0}

5)

Lösen Sie folgendes Gleichungssystem:

eqs = {x +  y  + z == 2, x - 3  y  - z  == 0, 
          2  x - y == 6};

Solve[eqs, {x, y, z}]

6)

Finde die inverse Matrix zu

A=(({{1, 2, 1}, {0, 1, 0}, {1, 3, 0}}));

Inverse[A]  // MatrixForm

7)

Löse das Gleichungssystem Ax=b mit der inversen Matrix.

A=(({{1, 2, 1}, {0, 1, 0}, {1, 3, 0}}));b=(({{2}, {3}, {1}}));

Inverse[A]  . b // MatrixForm

8)

Berechne die Determinante von folgenden Matrizen. Bestimme ihren Kern, Bild und Rang.

A=(({{1, 2, 1}, {0, 1, 0}, {3, 2, 0}}));B=(({{1, 2, 1}, {0, 1, 0}, {3, 6, 3}}));

{Det[A] , Det[B]}

NullSpace[B]

9)

Löse das Gleichungssystem aus 7) mit der Cramerschen Regel.

A=(({{1, 2, 1}, {0, 1, 0}, {1, 3, 0}}));b=(({{2}, {3}, {1}}));

(1/Det)[A]{Det[(({{2, 2, 1}, {3, 1, 0}, {1, 3, 0}}))],Det[(({{1, 2, 1}, {0, 3, 0}, {1, 1, 0}}))],Det[(({{1, 2, 2}, {0, 1, 3}, {1, 3, 1}}))]}

10)

Bestimmen Sie Eigenwerte und Eigenfunktionen folgender 2x2 Matrizen:

Unprotect[C];

A=(({{0, 1}, {-1, 0}})); B=(({{0, 1}, {0, 0}}));C=(({{1, 1}, {0, -1}}));

Eigensystem[A]

Eigensystem[B]

Eigensystem[C]

11)

Bestimme Sie die Eigenwerte und Eigenfunktionen folgender Matrix:

A=(({{-5, 2, 4}, {3, 0, -2}, {-6, 4, 6}}));

Eigensystem[A]

12)

Finden Sie eine Transformation die die Matrix aus dem vorherigen Beispiel auf Diagonalform bringt.

(U = Transpose[Eigensystem[A][[2]]]) // 
      MatrixForm

Inverse[U]  . A . U // MatrixForm