\documentclass[12pt]{article}
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\newcommand{\uebung}[2]{
\noindent\begin{minipage}[t]{10cm}
{\small\sf INSTITUT F\"UR REINE UND ANGEWANDTE MATHEMATIK}
\begin{center}{\vspace*{-5mm}\scriptsize\sf
Reinisch--Westf\"alische Technische Hochschule Aachen}\\
{\small Prof. V. En\ss{}, Dr. G. Teschl}
\end{center}\end{minipage}\hfill Aachen, den #2\\[4mm]

\begin{center}
{\Large\bf #1. \"Ubung  zu Dynamische Systeme SS97}\\[8mm]
\end{center}
}
\newcommand{\example}[1]{\noindent\textbf{Aufgabe #1.}}

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\author{Teschl Gerald}
\title{\"Ubungen zu Dynamische Systeme}
\date{1997}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\uebung{1}{16.4.97}

\example{1} Wandeln Sie das System
$$
x_{n+1} = x_n + x_{n-1}, \quad (x_n)_{n\in\N}
$$
in eine einstufige Rekursion um (in Analogie zu einem System erster Ordnung
f\"ur gew\"ohnliche Differentialgleichungen). Bestimmen Sie die Matrix $\Phi_n$ so
da\ss{} die L\"osung des obigen Sytems durch
$$
\left( \ba{c} x_{1+n} \\ x_{2+n} \ea\right) = \Phi_n \left( \ba{c} x_1 \\ x_2 \ea\right).
$$
gegeben ist. Beweisen Sie $\Phi_{n+m} = \Phi_n \Phi_m$.\\[3mm]

\example{2} Untersuchen Sie die logistische Abbildung $F_\mu(x)= \mu\, x(1-x)$
f\"ur $0 \le \mu \le 2$ (Fixpunkte, periodische Punkte, Stabilit\"at).\\[3mm]

\example{3} Sei $F$ eine stetige Selbstabbildung eines metrischen Raums $(X,d)$ und
sei $\ol{x} \in \mathrm{Per}_p(F)$ ein anziehender periodischer Punkt. Beweisen Sie
da\ss{} der Orbit $P=\{ \ol{x}, F(\ol{x}), \dots, F^{p-1}(\ol{x})\}$ von $\ol{x}$ ein
Attraktor ist.\\[3mm]

\example{4} Bestimmen Sie die Anzahl der $p$ periodischen Punkte der
Zeltabbildung
$$
F(x) = \left\{ \ba{cl} 2x, & 0 \le x \le \frac{1}{2} \\ 2-2x, & \frac{1}{2} \le x \le 1 \ea
\right. .
$$
Ist die Menge der periodischen Punkte dicht in $[0,1]$?

Sei $F: [0,1] \to [0,1]$ eine Abbildung mit $F(0)=F(1)=0$ und $F(1/2)=1$.
Weiters sei $F$ monoton steigend in $[0,1/2]$ und monoton fallend in
$[1/2,1]$. In wie weit lassen sich die Resultate der Zeltabbildung auf diesen
Fall verallgemeinern?

\newpage

\uebung{2}{23.4.97}


\example{5} Die {\em klassische Cantormenge} $C$ wird wie folgt definiert:
Setze $C_0= [0,1]$ und $C_{n+1}$ wird durch Entfernen des offenen mittleren
Drittels der Teilintervalle von $C_n$ erhalten. Das hei\ss{}t,
$C_1=[0,\frac{1}{3}]\cup[\frac{2}{3},1]$,
$C_2=[0,\frac{1}{9}] \cup [\frac{2}{9},\frac{1}{3}] \cup [\frac{2}{3},\frac{7}{9}] \cup
[\frac{8}{9},1]$, etc. Dann ist $C = \bigcap_{n\in\N} C_n$.

Beweisen Sie da\ss{} $C$ abgeschlossen, perfekt und vollst\"andig
un\-zusammen\-h\"angend ist. Zeigen Sie weiters, da\ss{} $C$ selbst\"ahnlich
ist: Die Abbildung $x \mapsto 3^n x-k$, $k 3^{-n}\in C$, $n\in\N$ ist eine Bijektion
von $C\cap [k 3^{-n},(k+1)3^{-n}]$ nach $C$.

Hinweis: Verwenden Sie die Darstellung von $x\in[0,1]$ im terti\"aren
Zahlensytem ($x=\sum_{i\in\N}x_i 3^{-i}$, $x_i\in\{0,1,2\}$), und \"uberlegen Sie wann
$x\in C_n$ gilt.\\[3mm]

\example{6} Sei $T: S^1 \to S^1$, $\theta \mapsto 2 \theta$ die
Abbildung der Winkelverdoppelung auf dem Einheitskreis. Zeigen Sie
(auf m\"oglichst elementare Weise) die Dichtheit von $\mathrm{Per}(T)$
in $S^1$, die empfindliche Abh\"angigkeit vom Startwert und die Existenz
eines dichten Orbits.\\[3mm]

\example{7} Sei $\Sigma_\mathbf{A}$ die Menge aller Folgen $s=(s_i)_{i\in\N_0}$
\"uber dem Alphabet $\mathbf{A} = \{ 0,1,\dots, N-1 \}$.

Bestimmen Sie $|\mathrm{Per}_{n}(\sigma )|$ f\"ur die Shiftabbildung $\sigma$ des 
$\Sigma_\mathbf{A}$ und zeigen Sie, da{\ss} $\sigma$ einen dichten Orbit in 
$\Sigma_\mathbf{A}$ besitzt.

Sei $s\in\Sigma_\mathbf{A}$ fest. Finden Sie ein einfaches Kriterium
daf\"ur, wann ein $t\in\Sigma_\mathbf{A}$ in der stabilen Menge $W^s(s) = \{t\in
\Sigma_\mathbf{A}\ |\ \lim_{i \to\infty}  d(\sigma^i(s), \sigma^i(t) ) = 0 \}$ von
$s$ ist.\\[3mm]

\example{8} Sei $\Sigma' := \{ s\in \Sigma _{\{ 0,1\} } \ |\ \forall i \geq 0 : 
s_i =0 \Longrightarrow s_{i+1}=1\  \} \subset \Sigma _{\{ 0,1\} }$.
Zeigen Sie, die folgenden Eigenschaften:\\
i). Die Shiftabbildung $\sigma $ l\"a{\ss}t die Menge $\Sigma '$ invariant  
und $\Sigma '$ ist abgeschlossen in $\Sigma $.\\
ii). $\mathrm{Per}(\sigma ')$ ist dicht in $\Sigma '$, wobei $\sigma '$ die
Einschr\"ankung von $\sigma $ auf $\Sigma '$ ist.\\
iii). $\Sigma '$ enth\"alt einen dichten Orbit (bzgl. $\sigma '$).\\
iv). Finden Sie eine Rekursionsformel $p_n=F(p_{n-2},p_{n-1})$ f\"ur
$p_n:=|\mathrm{Per}_n (\sigma ')|$.

\newpage

\uebung{3}{30.4.97}


\example{9} Welche der folgenden Eigenschaften bleiben unter
topologischer \"Aquivalenz erhalten?
\begin{itemize}
\item Anzahl der $p$ periodisch Punkte.
\item Stabilit\"at, asymptotische Stabilit\"at von periodischen Punkten.
\item Dichtheit der periodischen Orbits.
\item Existenz eines dichten Orbits.
\end{itemize}
\vspace{3mm}

\example{10} Seien $(F_j,X_j)$, $j=1,2$ zwei (diskrete) dynamische Systeme
und sei $\phi: X_1 \to X_2$ eine stetige surjektive Abbildung die
$\phi F_1 = F_2 \phi$ erf\"ullt. Welche der Eigenschaften
aus Aufgabe~9 gelten f\"ur $(F_2,X_2)$ wenn sie f\"ur $(F_1,X_1)$ gelten?\\[3mm]

\example{11} F\"ur eine stetige Abbildung $F:X \to X$ eines metrischen Raumes $X$ in
sich selbst definiert man die Mengen:
\\
$\mathrm{Per}(F)$ der periodischen Punkte, \\
$\mathrm{Rec}(F):=\{ x\in X \ |$ f\"ur jede Umgebung $U(x)$
existiert $n>0$ mit $F^{n}(x)\in U(x) \}$ der {\em rekurrenten} Punkte
und\\
$\mathrm{Nwa}(F):=\{ x\in X \ |$ f\"ur jede Umgebung  $U(x)$ existieren $n>0$
und $\ti{x}\in U(x)$ mit $F^{n}(\ti{x})\in U(x) \}$ der {\em nichtwandernden}
Punkte. Zeigen Sie:\\
i). $\mathrm{Per}(F) \subseteq \mathrm{Rec}(F) \subseteq \mathrm{Nwa}(F)$.\\
ii). $\mathrm{Per}(F)$, $\mathrm{Rec}(F)$ und $\mathrm{Nwa}(F)$ sind invariant
unter $F$. (Eine Menge $M\subseteq X$ ist invariant unter $F$ wenn $F(M) \subseteq M$
gilt.)\\
iii). $\mathrm{Rec}(F)=\{ x\in X \ |$ es existiert eine Folge $n_k $ mit
$F^{n_k}(x)\to x \}$.\\
iv). $\mathrm{Nwa}(F)$ ist abgeschlossen.\\
v). F\"ur die logistische Abbildung $F_\mu$ mit $\mu >2 +\sqrt{5}$ gilt:
$\mathrm{Nwa}(F_\mu)=\Lambda$,  $\mathrm{Rec}(F_\mu) \setminus
\mathrm{Per}(F_\mu)\neq\emptyset$ und $\mathrm{Nwa}(F_\mu) \setminus
\mathrm{Rec}(F_\mu)\neq \emptyset$.

\newpage

\uebung{4}{7.5.97}


\example{12} Sei $F_\lambda: \R^n \to \R^n$, $\lambda\in\R$ und sei $x_0\in\R^n$ ein
hyperbolischer Fixpunkt von $F_{\lambda_0}$ (d.h., kein Eigenwert der
Ableitung $\partial_x F_{\lambda_0}(x_0)$ hat Absolutbetrag $1$). Dann existiert eine
Umgebung $U(x_0)$ und ein offenes Intervall $I$ um $\lambda_0$ so da\ss{}
$F_\lambda^m$, $m\in\N$ f\"ur $\lambda\in I$ genau einen Fixpunkt $x\in U(x_0)$
besitzt.\\[3mm]

\example{13} Untersuchen Sie die Fixpunkte (Anzahl, Stabilit\"at)
der Abbildung $F_\lambda: \R \to \R$, $x \mapsto \lambda+ x + x^2$ in
Abh\"angigkeit von $\lambda\in\R$. Stellen Sie Ihre Ergebnisse in
einem Bifurkationsdiagramm dar.\\[3mm]

\example{14} Untersuchen Sie alle periodischen Punkte (Anzahl, Stabilit\"at)
der Abbildung $F_\lambda: \R \to \R$, $x \mapsto \lambda \arctan(x)$ in
Abh\"angigkeit von $\lambda\in\R$. Stellen Sie Ihre Ergebnisse in
einem Bifurkationsdiagramm dar.

Hinweise: (i). Beachten Sie $F_\lambda(-x)= F_{-\lambda}(x)= -F_\lambda(x)$,
insbesondere $F_{-\lambda}^n(x) = (-1)^n F_\lambda^n(x)$.\\
(ii). Beweisen Sie zun\"achst:  Sei $f\in C^1(\R)$ strikt konvex und beschr\"ankt auf
$(0,\infty)$ mit $f(0)=0$. Wenn $f'(0)\le 1$ (bzw.\ $f'(0)>1$) gilt, dann hat die Gleichung
$f(x)=x$ keine (bzw.\ genau eine) L\"osungen in $(0,\infty)$.

\newpage

\uebung{5}{14.5.97}


\example{15} Sei $F_\lambda(x) \in C^2(U(\lambda_0)\times V(x_0))$ mit
$$
F_\lambda(x_0) =x_0 \mbox{ f\"ur } \lambda \in U(\lambda_0).
$$
Zeigen Sie da\ss{}
$$
G(\lambda,x) = \frac{F_\lambda(x) -x}{x-x_0}
$$
stetig erg\"anzbar bei $x_0$ ist und da\ss{} die Erg\"anzung in $C^1(U(\lambda_0)\times
V(x_0))$ liegt.\\[3mm]

\example{16} Sei $F_\mu(x) = \mu\, x (1-x)$, $0 \le \mu \le 4$ die logistische Abbildung.
Untersuchen Sie die lokalen Verzweigungen der eins- und zwei-periodischen Punkte.

Welche Arten von Bifurkationen treten auf? Skizzieren Sie die auftretenden Bahnen.\\[3mm]

\example{17} Klassifizieren Sie das lokale Bifurkationsverhalten folgender Abbildungen in der
N\"ahe der angegebenen Parameterwerte:
\begin{itemize}
\item $Q_\lambda(x)= \lambda + x^2$, $\lambda_0 = -\frac{3}{4}, \frac{1}{4}$
\item $F_\lambda(x)= \lambda \sinh(x)$, $\lambda_0 = -1, 1$
\item $F_\lambda(x)= x^2 + \sin(\lambda x)$, $\lambda_0 = 1$
\end{itemize}
Diskutieren Sie die Stabilit\"at der Fixpunkte und der zwei-periodischen Punkte.

\newpage

\uebung{6}{28.5.97}

\example{18} 
Zwei differenzierbare Intervallabbildungen $F_j:I_j \to I_j$, $j=1,2$ hei\ss{}en
$C^1$-konjugiert wenn es einen $C^1$-Diffeomorphismus $\phi$ (d.h. $\phi\in C^1(I_1,I_2)$
und $\phi^{-1}\in C^1(I_2,I_1)$) gibt, so da\ss{} $\phi F_1 = F_2 \phi$ gilt.
Zeigen Sie, da\ss{} folgende Dinge unter $C^1$-\"Aquivalenz erhalten bleiben:\\[2mm]
i). Hyperbolische Fixpunkte.\\
ii). Homokline Punkte/Bahnen; entartete bzw.\ nicht entartete homokline Punkte/Bahnen.\\[3mm]

\example{19}
Beweisen Sie f\"ur eine differenzierbare Intervallabbildung $F:I \to I$, da\ss{} nicht entartete
homokline Punkte zwar nichtwandernd aber nicht rekurrent sind (siehe Aufgabe 11). Was kann bei
entarteten homoklinen Punkten passieren?

Zeigen Sie, da\ss{} die logistische Abbildung $F_\mu(x)= \mu\, x(1-x)$
f\"ur $\mu > 4$ (bzw.\ $\mu > 2+\sqrt{5}$) unendlich viele homokline Orbits besitzt. Gibt es f\"ur
$\mu>4$ auch entartete homokline Orbits? Gibt es (entartete, nicht entartete) homokline Orbits
f\"ur $\mu\le4$?\\[3mm]

\example{20} Untersuchen Sie die lineare Differentialgleichung
$$
\dot{x} = A \, x, \quad x=(x_1,x_2)\in\R^2
$$
f\"ur folgende Matritzen
$$
A =\left(\ba{cc} 5 & -4 \\ 4 &-5 \ea\right), \quad
A = \frac{1}{2}\left(\ba{cc} 5 & -1 \\ 1 & 3 \ea\right)
\mbox{ und } A = \frac{1}{3}\left(\ba{cc} -1 & 10 \\ -4 &-5 \ea\right).
$$
Berechnen Sie die allgemeine L\"osung und skizzieren Sie den Flu\ss.

\newpage

\uebung{7}{4.6.97}



\example{21} Seien
$$
\dot{x} = A_j \, x, \quad x\in\R^\nu, \: j=1,2
$$
zwei lineare hyperbolische System und seien $A_j$ diagonalisierbar (\"uber $\C$).
\begin{itemize}
\item Beide Systeme sind genau dann topologisch equivalent wenn die Anzahl der
Eigenwerte $m_\pm(A_j)$ mit positiven/negativen Realteil gleich sind, 
$$
m_+(A_1) = m_+(A_2) \quad\mbox{und}\quad m_-(A_1) = m_-(A_2).
$$
Hinweis: Bringen Sie $A$ auf reelle (Jordansche) Normalform. Es reicht das
Resultat f\"ur 1-Bl\"ocke (reelle Eigenwerte) und 2-Bl\"ocke (konjugiert komplexe Eigenwerte)
zu beweisen. F\"ur die 2-Bl\"ocke bietet sich die Verwendung von Polarkoordinaten an.\\
Bemerkung: Das Ergebnis stimmt auch ohne die Voraussetzung "`diagonalisierbar"'.
\item Was l\"asst sich \"uber den Fall mit rein imagin\"aren Eigenwerten sagen?\\
Hinweis: Wie verhalten sich periodische Bahnen (insbes. ihre Periode) unter topologischer
Konjugation?
\end{itemize}
\vspace{3mm}

\example{22}
Untersuchen Sie die L\"osungsgesamtheit des harmonischen Oszillator mit (ohne) D\"ampfung
$$
\ddot{x} + 2k \,\dot{x} +x =0, \quad k\ge 0.
$$
Betrachten Sie insbesondere den qualitativen Wechsel des Verhaltens von L\"osungen im
aperiodischen Genzfall (d.h., den Wechsel von zwei konjugiert komplexen zu zwei reellen
Eigenwerten).\\[3mm]

\example{23}
Geben Sie das Vektorfeld des harmonischen Oszillators
$$
\dot{x} = \left(\ba{cc} 0 & -1\\ 1 & 0\ea\right) \, x, \quad x\in\R^2
$$
in Polarkoordinaten an.

\newpage

\uebung{8}{11.6.97}


\example{24} Sei
$$
\dot{x} = A \, x, \quad x\in\R^\nu
$$
ein lineares hyperbolisches System. Beweisen Sie folgende Eigenschaften:
\begin{itemize}
\item Die stabielen, instabilen Teilr\"aume $E^{u,s}$ sind invariante Teilmengen,
es gilt sogar
$$
A \, E^{u,s} =E^{u,s}, \quad \mathrm{e}^{A t} E^{u,s} =E^{u,s}.
$$
\item Sei $\alpha_0=\min|\mathrm{Re}(\mathrm{spec}(A))| >0$. F\"ur jedes $0 \le \alpha
<\alpha_0$ gibt es eine Konstante $c>0$, so da\ss{}
\begin{eqnarray*}
\| \mathrm{e}^{A t}x^{(s)}\| & \le c \mathrm{e}^{-\alpha t} \| x^{(s)}\|, \quad \forall x^{(s)}\in E^s, t
\ge 0,\\
\| \mathrm{e}^{A t}x^{(u)}\| & \le c \mathrm{e}^{\alpha t} \| x^{(u)}\|, \quad \forall x^{(u)}\in E^u, t
\le 0.
\end{eqnarray*}
(Wann ist $\alpha=\alpha_0$ zul\"assig?)
\item Falls $\|\exp(t A) x\| \le M<\infty$ f\"ur
alle $t\in\R$ gilt, so ist $x=0$.\\[3mm]
\end{itemize}
\vspace{3mm}
\example{25} Untersuchen Sie das System
$$
\dot{x} = f(x), \quad f(x)= \left(\ba{c} -x_1 \\ x_2 +x_1^2 \ea\right),\quad x\in\R^2.
$$
\begin{itemize}
\item Bestimmen Sie alle Fixpunkte.
\item Berechnen Sie die Linearisierung um alle Fixpunkte.
\item Transformieren Sie das System mit Hilfe der Abbildung
$$
y = \Psi(x) =\left(\ba{c} x_1 \\ x_2 + \frac{x_1^2}{3} \ea\right).
$$
\item Bestimmen Sie die stabile und die instabile Mannigfaltigkeit
${\cal M}^{s,u}$ f\"ur alle Fixpunkte.
\end{itemize}

\newpage

\uebung{9}{18.6.97}


\example{26} Untersuchen Sie das System
$$
\dot{x} = f(x), \quad f(x)= \left(\ba{c} -x_1 - x_2^2\\ x_2 +x_1^2 \ea\right),\quad x\in\R^2.
$$
in der N\"ahe des hyperbolischen Sattels $x=(0,0)$. Bestimmen Sie eine Approximation
der stabilen Mannigfaltigkeit ${\cal M}^s$ indem Sie die dritte Iteration der
zugeh\"origen Integralgleichung berechnen.
\vspace{3mm}

\example{27} Die Bewegung eines Teilchens in einer Dimension sei
durch die Differentialgleichung
$$
\begin{array}{l}
\dot{x} = p\\
\dot{p} = -2\kappa p -V'(x)
\end{array}, \qquad V(x)= - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}, \quad p,x\in\R
$$
beschrieben. Beweisen Sie, da\ss{} im Fall ohne Reibung ($\kappa=0$) die
Energie
$$
E = \frac{p^2}{2} + V(x)
$$
erhalten ist (d.h., sich entlang Trajektorien nicht \"andert) und im Fall mit
Reibung ($\kappa>0$) abnimmt (oder konstant bleibt).

Klassifizieren Sie alle Fixpunkte, und bestimmen Sie im Fall $\kappa=0$ die zugeh\"origen
stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten ${\cal M}^{s,u}$. Wie \"andern sich diese
Mannigfalitgkeiten wenn $\kappa>0$ ist. Skizzieren Sie f\"ur $\kappa=0$ und
$\kappa>0$ das Phasendiagramm.


\newpage

\uebung{10}{25.6.97}


\example{28} Wir betrachten die Differentialgleichung
\begin{equation}
\dot{y} = (a \cos(t) +b)y - y^3, \quad y,a,b\in\R
\end{equation}
als autonomes System
\begin{equation}
\ba{l} \dot{y} = (a \cos(\tau) +b)y - y^3,\\ \dot{\tau}=1, \ea
\end{equation}
mit $(y,\tau)\in \R\times\mathbb{S}^1$ (d.h., wir betrachten $\tau \mathrm{mod}\, 2\pi$).
Beweisen Sie folgende Punkte:
\begin{itemize}
\item Periodische L\"osungen von (2) entsprechen $2\pi$-periodischen
L\"osungen von (1).
\item Nimmt man $\tau=0 (\mathrm{mod}\, 2\pi)$ als Poincar\'{e}-Schnitt, dann ist die
Poincar\'{e} Abbildung durch $P(y_0) = y(2\pi,y_0)$, wobei $y(t,y_0)$ die L\"osung von
(1) zur Anfangsbedingung $y(t,y_0)=y_0$ ist, gegeben.
\item Finden Sie einen geschlossenen Ausdruck f\"ur $P(y)$. Untersuchen Sie die Fixpunkte von
$P(y)$ und deren Stabilit\"at.
\end{itemize}
Was bedeuten Ihre Ergebnisse f\"ur das Ausgangssystem (1)? Welche Bifurkatonen treten
auf?\\[3mm]

\example{29} Betrachten Sie das System
$$
\ba{l}
\dot{x} = -y + x(1-x^2-y^2)\\
\dot{y} = x + y(1-x^2-y^2)\\
\dot{z} = z\ea 
$$
und berechnen Sie die Poincar\'{e} Abbildung zum Poincar\'{e}-Schnitt $H=\{ (x,y,z) |
x>0, y=0\}$. Bestimmen Sie weiters stabile und instabile Mannigfaltigkeit dieser
Poincar\'{e} Abbildung. (Hinweis: Zylinderkoordinaten.)\\[3mm]

\example{30} Gegeben sei die van der Pol-Gleichung
$$
\ba{l}
\dot{x} = y + \mu x - x^3\\
\dot{y} = -x\ea, \quad 0<\mu<2
$$
und die Kurve $C(y_0)= C_+(y_0) \cup C_-(y_0)$, $y_0> \max\{2\mu\sqrt{\mu}, \sqrt{\mu+2} \}$,
mit
\begin{eqnarray*}
C_\pm(y_0) &=& \{ \pm(x,y) |y= y_0 + \frac{\sqrt{\mu}}{y_0} (x+\sqrt{\mu}), \: - \sqrt{\mu}
\le x \le 0\}\\
&& \cup \{ \pm(x, y) |y= y_1= y_0 + \frac{\mu}{y_0}, \: 0 \le x \le x_1 \}\\
&& \cup \{ \pm(x, y) |y= \frac{y_1}{r_0-x_1}(r_0-x), \: x_1 \le x \le r_0=\sqrt{y_0^2+\mu} \}\\
&& \cup \{ \pm(x, y) | y= - \sqrt{r_0^2-x^2}, \: \sqrt{\mu} \le x \le r_0\}
\end{eqnarray*}
und $x_1$ der eindeutigen L\"osung von $y_1 = x_1(x_1^2 - \mu)$ im Intervall
$(\sqrt{\mu},\infty)$.

Beweisen Sie, da\ss{} das Vektorfeld auf $C(y_0)$ immer nach innen weist, ausser an den
vier Punkten $\pm(-\sqrt{\mu},y_0)$ und $\pm(0,y_1)$, wo es tangential ist.





\end{document}
