\documentstyle[german,titlepage,12pt]{report}

\author{Teschl Gerald}
\title{Schr\"odingeroperator mit einer auf einem Rotationsellipsoid
konzentrierten Wechselwirkung}

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\begin{document}

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\pagenumbering{roman}

\begin{titlepage}
\begin{center}

\vspace*{2cm}
{\Huge \bf
Schr\"odingeroperator \\[7mm] mit einer auf einem \\[7mm]
Rotationsellipsoid konzentrierten \\[10mm] Wechselwirkung }\\[1.5cm]
\Large Gerald Teschl \\[2cm]
Diplomarbeit, \\[3mm]
verfa\ss t am \\[3mm]
Institut f\"ur Theoretische Physik \\[3mm]
der Technischen Universit\"at Graz \\[3mm]
unter der Betreuung von \\[3mm]
Doz. Dr. Wolfgang Bulla \\[1cm]
Mai 1993

\end{center}
\end{titlepage}

\tableofcontents

\newpage

\setcounter{section}{-1}

\section{Danksagungen}

Ich m\"ochte mich bei den Herrn Doz. Dr. Wolfgang Bulla, Prof. Dr. Bernhard
Schnizer, Doz. Dr. Ferdinand Sch\"urrer und Dr. Karl Unterkofler f\"ur die
Vielzahl von Hilfestellungen w\"ahrend meines ganzen Studiums bedanken.

Weiters m\"ochte ich mich auch bei meiner Mutter Edeltrude Teschl und meiner
Freundin Susanne Timischl f\"ur ihren positiven Einflu\ss auf meinen
Werdegang bedanken.


\section{Einleitung}



Punktwechselwirkungen (oder $\delta$--Potentiale) sind ein in der
Quantenmechanik beliebtes Modell, da sie den Vorteil besitzen, analytisch
l\"osbar zu sein. Sie finden sich deshalb auch in beinahe jedem Buch \"uber
Quantenmechanik. Die Wechselwirkung ist formal durch folgenden
Hamiltonoperator gegeben (in geeigneten Koordinaten und Einheiten):
\bd
{\rm H} = - \Delta + \sum_{y} \alpha_y \delta_y(.)
\ed
Dabei bezeichnet  $y$ den Ort des Potentials, $\alpha_y$ seine St\"arke und
$\delta_y(.)$ die Diracsche Deltadistribution. Eine (mathematisch
exakte) Behandlung dieses Problems mit Hilfe der Distributionentheorie
ist m\"uhsam, es gibt jedoch eine einfachere (und vor allem dem
Hilbertraum--Konzept der Quantenmechanik angepa\ss te) Methode, diese
Wechselwirkungen zu beschreiben: Die Theorie der selbstadjungierten
Fortsetzungen von Operatoren (\cite{wd} Kapitel 8). Eine umfassende
Beschreibung der L\"osung von Punktwechselwirkungen mit Hilfe dieser
Methode findet sich in \cite{ag}.

Eine Zwischenbemerkung: Bei der Separation des Laplace--Operators in (z.B.:)
Kugelkoordinaten zeigt sich, da\ss die entstehenden Differentialoperatoren
nicht wesentlich selbstadjungiert sind und es verschiedene M\"oglichkeiten
f\"ur Randbedingungen gibt. Es werden dann verschiedene (oft nicht
stichhaltige) Argumente gebracht, welche Randbedingungen nun \"`{}richtig\"'
sind. Eine einfache \"Uberlegung zeigt jedoch, da\ss die durch
Separation gefundenen Eigenfunktionen zumindest stetig sein m\"ussen, damit
der Laplace--Operator \"uberhaupt auf sie anwendbar ist (Das beinhaltet auch
die periodischen Randbedingungen f\"ur den $\vphi$-Anteil (\cite{sw}
Kap. 5.3) und damit die Ganzzahligkeit des Bahndrehimpulses!). Eine andere
Wahl der Randbedingung kann zu Punktwechselwirkungen f\"uhren. Vergleiche
dazu \cite{sw} Kap. 6.1 S 110 (und \cite{ag} f\"ur die mathematischen
Einzelheiten).

Eine Weiterf\"uhrung des obigen Modells ist es, auf Fl\"achen konzentrierte
Potentiale zu betrachten. Dabei wurde jedoch bis jetzt nur der
kugelsymmetrische Fall behandelt. Vergleiche \cite{ags} f\"ur den
Schr\"odingeroperator und \cite{de1}, \cite{de2} f\"ur den Diracoperator.
Deshalb war es das Ziel dieser Arbeit, Verallgemeinerungen des
kugelsymmetrischen Problems zu finden. Es wurde daher versucht, ein auf der
Oberfl\"ache eines Rotationsellipsoids konzentriertes Potential
(funktionalanalytisch) zu beschreiben, da f\"ur diesen Fall die Separierbarkeit
des Problems erhalten bleibt.

Die physikalische Motivation f\"ur dieses Modell
kommt haupts\"achlich aus der Kernphysik \cite{gm} (f\"ur weitere
Literaturangaben und andere Anwendugsm\"oglichkeiten siehe \cite{ags}). Da
versucht wurde Kernkr\"afte damit zu beschreiben, ist die Erweiterung auf
Ellipsenschalen naheliegend.

In \chaptername{} 1 wurde die freie Schr\"odingergleichung in sph\"aroidalen
Koordinaten separiert. Da keine Ergebnisse (wie sie f\"ur die weitere
funktionalanalytische Behandlung notwendig sind) \"uber die L\"osung der freien
Schr\"odingergleichung in diesen Koordinaten gefunden werden konnten, wurde
dieses Problem zuerst betrachtet. Es wurde die Selbstadjungiertheit der bei
der Separation auftretenden Operatoren, ihre Resolventen, Spektren,
Vollst\"andigkeit der Eigenfunktionen und Klassen von
relativkompakten St\"orpotentialen untersucht. Die wesentlichen Unterschiede
(und zugleich mathematischen Schwierigkeiten) liegen darin, da\ss das
Volumselement (\ref{dv}) nicht faktorisiert und die bei der Separation
entstehenden Gleichungen (\ref{sep1}) und  (\ref{sep2}) kompliziert
verkoppelt sind. Der erste f\"uhrt dazu, da\ss es keinen einfachen Zusammenhang
zwischen dem urspr\"unglichen Raum (\ref{hrspko}) und dem Tensorprodukt der
bei der Separation entstehenden R\"aume (\ref{hrtp}) gibt. Der zweite bewirkt,
da\ss man nicht mehr ein einfaches Eigenwertproblem der Form $\ot f = z f$,
sondern eines der Form $\ot(z) f = z f$ erh\"alt.

In \chaptername{} 2 wurde dann die $\delta$--Wechselwirkung eingef\"uhrt
und untersucht. Es wurden zun\"achst elementare Eigenschaften wie
Selbstadjungiertheit, Gestalt von Resolvente und Spektrum bewiesen. Als
n\"achstes wurde gezeigt, wie die $\delta$--Wechselwirkung als
Grenzwert von skalierten Potentialen erhalten werden kann, woraus
eigentlich erst die physikalische Signifikanz dieses Modells hervorgeht: Die
auf einem Rotationsellipsoid konzentrierte Wechselwirkung ist eine
N\"aherung f\"ur ein hohes, nur in einer kleinen Umgebung des
Rotationsellipsoides wesentlich von Null verschiedenen Potentials.

In \chaptername{} 3 wurden dann noch einige Resultate \"uber das ${\rm
H}^+_2$--Ion (fixe Kerne) gesammelt, die sich gro\ss teils aus den
vorangehenden Kapiteln ergaben.

Im Anhang befindet sich eine Zusammenfassung der
Weyl--Titchmarsch--Theorie \"uber die Selbstadjungiertheit von
Sturm--Liouville--Operatoren mit einem etwas einfacheren Beweis f\"ur die
Selbstadjungiertheit bei getrennten Randbedingungen. 

Als Ausblick w\"are noch festzuhalten, da\ss es wahrscheinlich kein Problem
darstellt, die Ergebnisse auf endlich viele konzentrische Rotationsellipsoide
zu erweitern, wie dies f\"ur den kugelsymmetrischen Fall in \cite{sh} gemacht
wurde. Es ist auch m\"oglich, die $\delta$--Wechselwirkung mit anderen
Potentialen (z.B. jene aus \chaptername{} 3) zu kombinieren (vgl. \cite{ags}).


\newpage
\section{Bezeichnungen}

{\bf Funktionentheorie:}\\[2mm]

\begin{tabular}{c@{\dots}l}
$\I$ & imagin\"are Einheit ($\I= \sqrt{-1}$)\\
$\ol{z}$ & zu $z \in \C$ konjugiert komplexe Zahl\\
$\re(z)$ & Realteil von $z$\\
$\im(z)$ & Imagin\"arteil von $z$\\
$|z|$ & Betrag von $z$\\
$\arg(z)$ & Argument von $z = |z| \exp( \I \arg(z))$ mit $0 \le \arg(z) <2
\pi$\\
$z^\rho$ & komplexe Potenz: $z = \exp(\rho \ln |z| + \I \rho \arg(z))$
 \end{tabular}\\[5mm]
{\bf Funktionalanalysis (vgl. \cite{wd}):}\\[2mm]

\begin{tabular}{c@{\dots}l}

$\hr$ & Hilbertraum\\
$\spr{.}{.}$ & Skalarprodukt\\
$\| . \|$ & Norm\\
$\| . \|_{HS}$ & Hilbert-Schmidt-Norm\\
$\spa{.}$ & $\spa{f_1,\dots} \quad$ lineare H\"ulle der Vektoren $f_1,\dots$\\
$\oplus$ & direkte Summe von Hilbertr\"aumen\\
$\otimes$ & Tensorprodukt von Hilbertr\"aumen\\
$\ot$ & Operator im Hilbertraum\\
$\dbt$ & Definitionsbereich von $\ot$\\
$\nul(\ot)$ & Nullraum von $\ot$\\
$\ran(\ot)$ & Wertebereich von $\ot$\\
$\ol{\ot}$ & Abschlu\ss von $\ot$ \\
$\ot^*$ & zu $\ot$ adjungierter Operator\\
$\ot^{-1}$ & zu $\ot$ inverser Operator\\
$\rz (\ot)$ & Resolvente $(\ot - z)^{-1}$\\
${\rm R}(.,.)$ & Kern des Integraloperators ${\rm R}$\\
$\rho(\ot)$ & Resolventenmenge von $\ot$\\
$\sigma(\ot)$ & Spektrum von $\ot$\\
$\sigma_{ess}(\ot)$ & wesentliches Spektrum\\
$\sigma_{ac}(\ot)$ & absolut stetiges Spektrum\\
$\sigma_{sc}(\ot)$ & singul\"ar stetiges Spektrum\\
$\sigma_{p}(\ot)$ & Punkt--Spektrum\\
$\sigma_{disc}(\ot)$ & diskretes Spektrum\\
$\hr_{ac}(\ot)$ & absolut stetiger Teilraum von $\hr$ bez\"uglich $\ot$\\
$\hr_{sc}(\ot)$ & singul\"ar stetiger Teilraum von $\hr$ bez\"uglich $\ot$\\
$\hr_{p}(\ot)$ & unstetiger Teilraum von $\hr$ bez\"uglich $\ot$
\end{tabular}\\
\newpage
{\bf R\"aume komlexwertiger Funktionen:}\\[0mm]

\begin{tabular}{c@{\dots}l}

$\lz(\Omega)$ & Menge der auf dem Gebiet $\Omega \subset \R^n$
quadratintegrablen Funktionen \\
$\lz(\Omega,r)$ & {\bmp[t]{12.1cm} Menge der auf dem Intervall $\Omega
\subset \R^n$ bez\"uglich der Gewichtsfunktion $r$ quadratintegrablen
Funktionen \emp} \\
$\lzi$ & Menge der auf dem Intervall $I \subset \R$
quadratintegrablen Funktionen \\
$\lz(I,r)$ & \bmp[t]{12.1cm} Menge der auf dem Intervall $I \subset \R$
bez\"uglich der Gewichtsfunktion $r$ quadratintegrablen Funktionen \emp
\\[3mm]
$\lz_{loc}(I)$ & \bmp[t]{12.1cm} Menge der auf jedem kompakten
Teilintervall $\hat{I} \subset I$ quadratintegrablen Funktionen \emp
\vspace{1.5mm}  \\
$\lz_0(I)$ & \bmp[t]{12.1cm} Menge der quadratintegrablen
Funktionen, die au\ss erhalb eines kompakten, von der Funktion abh\"angigen,
Intervalls $\hat{I} \subset I$ identisch verschwinden \emp \vspace{1.5mm} 
\\ $\lei(I)$ & Menge der auf $I$ integrierbaren Funktionen\\
$\lei_{loc}(I)$ & \bmp[t]{12.1cm} Menge der auf jedem kompakten
Teilintervall $\hat{I} \subset I$ integrablen Funktionen \emp \vspace{1.5mm}  \\
${\rm L}^\infty(I)$ & Menge der auf $I$ beschr\"ankten, me\ss baren
Funktionen\\
${\rm C}(I)$ & Menge der auf $I$ stetigen Funktionen\\
${\rm C}^\infty_0(I)$ & \bmp[t]{12.1cm} Menge der beliebig oft
differenzierbaren Funktionen, die au\ss erhalb eines kompakten, von der
Funktion abh\"angigen, Intervalls $\hat{I} \subset I$ identisch verschwinden
\emp \vspace{1.5mm}  \\ $\aci$ & Menge der auf dem Intervall $I \subset \R$
absolut stetigen, Funktionen\\
$\acei$ & Menge der Funktionen mit $f,f' \in \aci$\\
$\acli$ & \bmp[t]{12.1cm} Menge der auf jedem kompakten Teilintervall
$\hat{I} \subset I$ absolut stetigen Funktionen \emp \vspace{1.5mm}  \\
$\ac_0(I)$ & \bmp[t]{12.1cm} Menge der absolut stetigen Funktionen, die
au\ss erhalb eines kompakten, von der Funktion abh\"angigen, Intervalls
$\hat{I} \subset I$ identisch verschwinden \emp \vspace{1.5mm}  \\ 
$\aceli$ & Menge der Funktionen mit $f,f' \in \acli$\\
$\ac^1_0(I)$ & $\ac_0(I) \cap \acei$
\end{tabular}\\[5mm]
{\bf Abk\"urzungen:}\\[2mm]
\begin{tabular}{c@{\dots}l}
GKF & Grenzkreisfall\\
GPF & Grenzpunktfall\\
RB & Randbedingung\\
{\bf s.e.c.} & {\em salvo errore calculi} (mit Vorbehalt eines Rechenfehlers)
\end{tabular}

%
% Kapitel 1
%



\newpage

\pagenumbering{arabic}

\chapter{L\"osung der freien Schr\"odingergleichung in sph"aroidalen Koordinaten}


\section{Separation der freien Schr\"odingergleich\-ung}

Die Schr\"odingergleichung in kartesischen Koordinaten (und geeigneten Einheiten)
lautet:
\be
\label{sg}
- \Delta \Psi + {\rm V} \, \Psi = k^2 \Psi \qquad \Psi(x,y,z) \in \lz (\R^3) \quad k^2
\in \C \ee
Der Laplace--Operator ist durch
\be
\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} +
\frac{\partial^2}{\partial z^2}
\ee
gegeben. In diesem Abschnitt sollen ihre L\"osungen in (gestreckt)
sph\"aroidalen Koordinaten untersucht werden. Diese lauten \cite{ms} \cite{mf}:\\
\bea
\nn x &=& a \, \sinh \rho \sin \vartheta \cos \varphi = a \, \sqrt{\xi^2-1}
\sqrt{1-\eta^2} \cos \varphi\\
y &=& a \, \sinh \rho \sin \vartheta \sin \varphi = a \, \sqrt{\xi^2-1}
\sqrt{1-\eta^2} \sin \varphi\\
\nn z &=& a \, \cosh \rho \cos \vartheta = a \, \xi \, \eta
\eea
mit $a>0$ und
\bd
\rho \in [0,\infty), \; \vartheta \in [0,\pi] \; \varphi \in [0,2 \pi)
\mb{ bzw. } \xi \in [1,\infty), \; \eta \in [-1,1], \; \varphi \in [0,2 \pi)
\ed
Das Volumselement lautet:
\bea
\nn dx \, dy \, dz &=& a^3 (\sinh^2 \rho + \sin^2 \vartheta) \sinh \rho \sin
\vartheta \, d\rho \, d\vartheta \, d\varphi\\ \label{dv} &=& a^3 (\cosh^2 \rho -
\cos^2 \vartheta) \sinh \rho \sin \vartheta \, d\rho \, d\vartheta \, d\varphi\\
\nn &=& a^3 (\xi^2-\eta^2) d\xi \, d\eta \, d\varphi
\eea
Die Koordinatenfl\"achen $\xi=const$ sind gestreckte Rotationsellipsoide
mit Brennpunkten bei $z= \pm a$. Abgeflachte Rotationsellipsoide
k\"onnen durch die Substitution $a  \rightarrow -\I a$ und
$\xi  \rightarrow \I \xi$ bzw. $\cosh \rho \rightarrow \I \sinh \rho$
erhalten werden. Damit (\ref{sg}) separiert werden kann, mu\ss{} das Potential
$V$ die folgende Gestalt besitzen \cite{mf}:
\be
\label{pot1}
V = \frac{W_1(\cosh \rho) + W_2(\cos \vartheta)}
{\cosh^2 \rho - \cos^2 \vartheta} + \frac{W_3(\varphi)}{ \sinh \rho \sin
\vartheta}
\ee
mit willk\"urlichen Funktionen $W_i \; i=1,2,3$. F\"uhrt man die Abst\"ande
von den Brennpunkten $r_1,r_2$ ein ($\cosh \rho = (r_1+r_2)/2a, \cos \vartheta =
(r_1-r_2)/2a$), so erh\"alt man die physikalisch aussagekr\"aftigere Form:
\be
\label{pot}
V = \frac{a^2 \left( W_1(\frac{r_1+r_2}{2a}) + W_2(\frac{r_1-r_2}{2a}) \right)}{r_1
r_2} + \frac{4a^2 \, W_3( \varphi)}{\sqrt{8a^2(r_1^2+r_2^2)-(r_1^2-r_2^2)^2-16a^4} }
\ee
Man erkennt, da\ss{} insbesondere Potentiale der Form $V= C_1/r_1 + C_2/r_2$ in
die Gestalt (\ref{pot}) gebracht werden k\"onnen (vgl. \cite{mf} \"Ubungsbeispiel
5.3). Der Laplace--Operator ist in diesen Koordinaten durch folgenden Ausdruck
gegeben:
\bea
\label{lop}
\nn \Delta & = & \frac{1}{a^2 (\sinh^2 \rho + \sin^2 \vartheta) } \left[
\frac{1}{\sinh \rho} \frac{\partial}{\partial \rho} \sinh \rho
\frac{\partial}{\partial \rho}+ \right. \\
& & \nn \left. \frac{1}{\sin \vartheta}\frac{\partial}{\partial \vartheta}\sin
\vartheta \frac{\partial}{\partial \vartheta}+(\frac{1}{\sinh^2 \xi}+\frac{1}
{\sin^2 \eta}) \frac{\partial^2}{\partial \vphi^2}\right]\\
& & \\ \nn & = & \frac{1}{a^2 (\xi^2 - \eta^2) } \left[ \frac{\partial}
{\partial \xi} (\xi^2-1) \frac{\partial}{\partial \xi}+\frac{\partial}
{\partial \eta}(1 - \eta^2) \frac{\partial}{\partial \eta}+ \right. \\
& & \nn \left. (\frac{1}{\xi^2 - 1}+\frac{1}{1 - \eta^2})
\frac{\partial^2}{\partial \vphi^2}\right]
\eea
Es soll nun die freie Schr\"odingergleichung ($V=0$) untersucht werden.
Dazu werden zun\"achst Produktl\"osungen der folgenden Form gesucht:
\bea
\label{prod}
\nn \Psi(x,y,z) &=& \Psi(a \sqrt{(\xi^2 - 1)(1 - \eta^2)} \cos \vphi,
a \sqrt{(\xi^2 - 1)(1 - \eta^2)} \sin \vphi,a \xi \eta) \\
&=& \label{psi} \hat{\Psi}(\xi,\eta,\varphi) = J(\xi)S(\eta)\Theta(\vphi)
\eea
Einsetzen von Ansatz (\ref{prod}) in (\ref{sg}) mit $V=0$ unter Verwendung von
(\ref{lop})  ergibt drei gew\"ohnliche Differentialgleichungen f\"ur die Funktionen
$J(\xi),S(\eta),\Theta(\varphi)$:
\bea
\frac{d}{d\xi}(\xi^2-1)\frac{d}{d\xi} J - [\lam - \gamma^2 (\xi^2-1) +
\frac{m^2}{\xi^2-1}] J &=& 0\\ \frac{d}{d\eta}(1-\eta^2)\frac{d}{d\eta} S +
[\lam + \gamma^2 (1-\eta^2) - \frac{m^2}{1-\eta^2}] S &=& 0\\
\frac{d^2}{d\varphi^2} \Theta + m^2 \Theta &=& 0
\eea
mit $\gamma = a k$. $\lam$ bzw. $m^2$ bezeichnen die Separationsparameter.
Man beachte, da\ss{} die beiden Gleichungen f\"ur $J$ und $S$ identisch sind.\\
Umschreiben zeigt, da\ss{} drei (verkoppelte) Sturm--Liouville Probleme vorliegen:
\bea
\label{sep1} \frac{1}{a^2(\xi^2-1)} \left[ -\frac{d}{d\xi}(\xi^2-1)\frac{d}{d\xi} +
\lam + \frac{m^2}{\xi^2-1} \right] J &=& k^2 J \hspace{11mm} \xi \in (1,\infty)\\
\label{sep2} \left[ -\frac{d}{d\eta}(1-\eta^2)\frac{d}{d\eta}  - \gamma^2
(1-\eta^2) + \frac{m^2}{1-\eta^2} \right] S &=& \lam S \hspace{12.5mm} \eta \in
(-1,1)\\ \label{sep3} -\frac{d^2}{d\varphi^2} \Theta &=& m^2 \Theta
\hspace{10mm} \vphi \in (0,2 \pi) \eea
Diese sollen in den n\"achsten drei Punkten der Reihe nach untersucht werden.

\section{Untersuchung des $\Theta(\vphi)$--Anteils}

Gleichung (\ref{sep3}) zeigt, da\ss{} der folgende Operator untersucht werden
mu\ss{}:
\be
\ba{rcl}
\ot: \dbt \subset \lz (0,2\pi) &\rightarrow &
\lz (0,2\pi) \\ u & \mapsto & \ot u = - u''\\
\ea
\ee
Die Randbedingungen, die T zu einem selbstadjungierten Operator in
$\lz (0,2\pi)$ machen sind l\"angst bekannt und werden analog zum
kugelsymmetrischen Fall gew\"ahlt:
\be \ba{lr}
\dbt = \{ u \in \lz (0,2\pi) | & u \in \ac^1(0,2\pi) ,
\; u'' \in \lz (0,2\pi) , \\  & u(0) = u(2\pi), u'(0)=u'(2 \pi) \}
\ea
\ee
Anmerkungen: $u(0)=\lim_{\varepsilon \, \downarrow \, 0} u(0+\varepsilon) \quad
u(2\pi)= \dots$\\
Diese Wahl der Randbedingungen gew\"ahrleistet, da\ss{} (beim \"Ubergang von
sph\"aroidalen auf kartesische Koordinaten) die Anwendung des  Laplace--Operators
auf die Funktion $\Psi=J S \Theta$ (vgl. Gl. (\ref{psi})) \"uberhaupt sinnvoll
m\"oglich ist.
\bs
Der Operator $\ot$ ist auf $\dbt$ selbstadjungiert. Das Spektrum ist zweifach und
rein diskret:
\be
\sigma(\ot) = \sigma_{disc}(\ot)
\ee
Die Eigenwerte $m^2$ und dazugeh\"origen (normierten) Eigenfunktionen $u_m$
lauten:
\be
\ot u_m = m^2 u_m \qquad u_m(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}{\rm e}^{\D \I m x} \qquad
\mb{mit } m \in \Z
\ee
Die Funktionen $u_m(x)$ bilden ein vollst\"andiges Orthonormalsystem f\"ur den
Hilbertraum $\lz (0,2\pi)$.
\es
\bb
Diese Tatsachen folgen aus der (regul\"aren) Sturm--Liouvilleschen Theorie.
\eb

\section{Untersuchung des $S(\eta)$--Anteils}

Aus Gleichung (\ref{sep2}) ersieht man, da\ss{} der zu untersuchende Operator
lautet:
\be
\ba{rcl}
\ot: \dbt \subset \lz (-1,1) &\rightarrow &
\lz (-1,1) \\ u & \mapsto & \ot u = \tau u\\
\ea\\ \ee
\be
\tau u = -((1-x^2)u' \,)'-\gamma^2 (1-x^2) \, u + \frac{m^2}{1-x^2} u \qquad
\gamma^2 \in \R , m^2 \in \N_0
\ee
Man beachte, da\ss{} man f\"ur $\gamma=0$ die Legendre--Differentialgleichung
erh\"alt. Es liegt also ein singul\"arer Sturm--Liouvillescher Differentialausdruck
vor:
\bea
& \tau u = \frac{\D 1}{\D k}\bigl( -(p \, u' \, )'+q \, u \bigr) &\\
& p(x)=1-x^2 \qquad q(x)= -\gamma^2 (1-x^2)+ \frac{\D m^2}{\D 1-x^2} \qquad
k(x) \equiv 1 &
\eea
Beide Endpunkte $x_0= \pm 1$ sind singul\"ar, und um den Operator T
selbstadjungiert zu machen, stellt sich die Frage, ob bzw. welche Randbedingungen
notwendig sind. Dazu werden zuerst die Endpunkte nach Weyl klassifiziert (Definition
\ref{weylalt}). Da die Koeffizienten $p(x),q(x)$ analytische Funktionen sind, und
die L\"osungen der Differentialgleichung sich nach verallgemeinerten Potenzreihen
entwickeln lassen, kann ein Kriterium aus \cite{jr} (3.8 Satz 1) verwendet werden.
Danach liegt bei $x_0=\pm 1$ genau dann der Grenzkreisfall vor, wenn folgende
Bedingung erf\"ullt ist: \be
\label{krit}
n_0 > (1-\sigma)^2+4\frac{q_0}{p_0}
\ee
Dabei sind die Zahlen $\sigma, p_0$ und $q_0$ aus den Reihenentwicklungen f\"ur
$p(x)$ bzw. $q(x)$ um $x_0=\pm 1$ zu entnehmen:
\bea
p(x) = (x-x_0)^\sigma \sum^\infty_{\ell=0} p_\ell \, (x-x_0)^\ell \qquad & \Rightarrow &
p_0=\mp 2 \quad \sigma=1\\
q(x) = (x-x_0)^{\sigma-2} \sum^\infty_{\ell=0} q_\ell \, (x-x_0)^\ell \quad & \Rightarrow
& q_0=\mp \frac{m^2}{2}\\
k(x) = (x-x_0)^{\sigma-2} \sum^\infty_{\ell=0} k_\ell \, (x-x_0)^\ell \quad& \Rightarrow
& \ell_0=1
\eea
$k_{n_0}$ ist der erste nichtverschwindende Koeffizient der Entwicklung von
$k(x)$. Damit erh\"alt man unter Verwendung von (\ref{krit}) folgende Bedingung:
\be
m^2<1 \quad \Rightarrow \quad \left\{ \ba{rcl}
m=0 & : & \mb{Grenzkreisfall}\\ m \neq 0 & : & \mb{Grenzpunktfall} \ea \right.
\qquad m \in \N_0
\ee
Es ist also nur im Fall $m=0$ eine Randbedingung (RB) notwendig (Satz
\ref{selbstadj}). Der Definitionsbereich wird wie folgt gew\"ahlt:
\be
\ba{lr}
\dbt= \{ u \in \lz (-1,1) | & u \in \acel (-1,1) ,\; \tau u \in \lz (-1,1) , \\  & \mb{RB
f\"ur } m=0 \} \ea
\ee
Das Auffinden einer geeigneten Randbedingung ist also das n\"achste Ziel.
Der hier gew\"ahlte Zugang entspricht dem in \cite{jr}. Vergleiche dazu auch
Anhang A. F\"ur eine etwas heuristischere Darstellung vgl. \cite{st}, in dem auch
die nichtfunktionalanalytischen Methoden von \cite{tm} beschrieben werden. Dazu
wird zun\"achst das Verhalten der L\"osung der Differentialgleichung
\be
\tau \, u = \lambda \, u
\ee
in der N\"ahe der singul\"aren Punkte $x_0=\pm 1$ untersucht. Da die
Differentialgleichung, wie bereits erw\"ahnt, einen Reihenansatz gestattet, soll
dieser nun durchgef\"uhrt werden. Die Gleichung f\"ur die charakteristischen
Exponenten lautet (vgl. z.B.: \cite{jr} S 152):
\be
\rho^2+(a_0-1) \rho + b_0 = \rho^2 - \frac{m^2}{4} = 0 \quad \Rightarrow \quad
\rho_{2,1} = \pm \frac{m}{2}
\ee
mit $a_0= \lim\limits_{x \to \pm 1} (x\mp 1) \D
\frac{p'(x)}{p(x)} = 1$ und $b_0= \lim\limits_{x \to \pm 1} (x\mp 1)^2
\D \frac{\lambda-q(x)}{p(x)} = \frac{-m^2}{4} $ \\[2mm]
Es gilt $\rho_2-\rho_1= m \in \N_0$, daher gibt es ein Fundamentalsystem der
folgenden Form (vgl. wiederum \cite{jr}):
\be
\label{fs}
\bmp{11cm}
\beas
u_1(x) &=& (x-x_0)^{m/2} \sum^\infty_{\ell=0} c_\ell \, (x-x_0)^\ell \\
u_2(x) &=& (x-x_0)^{-m/2} \sum^\infty_{\ell=0} d_\ell \, (x-x_0)^\ell + c \, u_1(x)
\ln(x-x_0)
\eeas
\emp
\ee 
Allgemein gilt $d_m=0$ und $c_0 \neq 0$. F\"ur $m \neq 0$ ist $d_0 \neq 0$, und
f\"ur $m=0$ ist sicher $c \neq 0$.
Der Koeffizient $c$ ist ein Polynom in $\lambda$ und $\gamma^2$ (und zwar
in $\lambda$ und $\gamma$ zusammen vom Grad $m$) und kann rekursiv
berechnet werden (vgl. \cite{mx}). Man erkennt auch sofort, da\ss{} nur f\"ur $m=0$
beide L\"osungen im Hilbertraum liegen. Jede Funktion $u$ aus dem
Definitionsbereich von T (ohne RB) kann (Vorliegen des Grenzkreisfalls
vorausgesetzt) in der N\"ahe von $x_0$ in der Form:\\
\hspace*{1.5cm} \bmp{11cm} \beas
u(x) & = & u_1(x)\{ C_1 + \phi_1(x) \} + u_2(x)\{ C_2 + \phi_2(x) \}\\
u'(x) & = & u'_1(x)\{ C_1 + \phi_1(x) \} + u'_2(x)\{ C_2 + \phi_2(x) \}
\eeas \emp \hfill \bmp{2cm} \bea \label{dar} \eea \emp\\[3mm]
mit $u_1,u_2$ aus (\ref{fs}) und $\phi_{1,2}$ absolut stetig, $\phi_{1,2}(x_0)=0$
dargestellt werden (vgl. (\ref{ablinh}) und (\ref{losinh})). Die beiden komplexen
Zahlen $C_1,C_2$ sind eindeutig bestimmt, und die Randbedingung l\"a\ss{}t sich
mit ihnen wie folgt ausdr\"ucken:
\be
C_1 \cos \alpha +C_2 \sin \alpha =0 \qquad \alpha \in [\,0,\pi)
\ee
oder, f\"ur die Praxis geeigneter:
\be
W(u_1,u)_{x_0} + A \, W(u_2,u)_{x_0} = 0
\ee
mit $W(u,v)_{x_0} = \lim\limits_{x \to x_0} p(x)(u(x) v'(x)-u'(x) v(x))$\\[2mm]
Da f\"ur die Darstellung (\ref{dar}) ja nur das Verhalten der L\"osungen $u_1,u_2$
in der  N\"ahe von $x_0$ von Bedeutung ist, kann man endg\"ultig schreiben:
\bd
W(1,u(x))_{x_0} + \hat{A} \, W(\ln (x-x_0),u(x))_{x_0} = 
W(1+\hat{A} \, \ln (x-x_0),u(x))_{x_0} = 
\ed 
\be
\label{rbse}
\lim_{x \to x_0} [\hat{A} (u(x) - (x-x_0) u'(x) \ln (x-x_0)) - (x-x_0) u'(x)] = 0 
\ee
Um f\"ur $\gamma = 0$ wiederum Bekanntes zu erhalten, wird $\hat{A}=0$
gew\"ahlt. Vergleiche auch die Argumentation beim $\Theta(\vphi)$--Anteil. Damit
lautet $\dbt$ nun:
\be
\ba{ll}
\dbt= \{ u \in \lz (-1,1) | & u \in \acel (-1,1) ,\;
\tau u \in \lz (-1,1) , \\  & \lim_{x \to \pm 1} (1 \mp x) u'(x)=0
\mb{ f\"ur } m=0 \}
\ea
\ee
Wie man aus (\ref{fs}) und (\ref{dar}) ersieht, ist die angegebene Randbedingung mit
der in der physikalischen Literatur \"ublichen Stetigkeitsforderung an den
Randpunkten \"aquivalent (vgl. Bemerkung nach Lemma \ref{lemst}). Aus der
Konstruktion des Operators T ergibt sich folgender
\bs
\label{sase}
Der Operator $\ot$ ist auf $\dbt$ selbstadjungiert.
\es
\bb Satz \ref{selbstadj} \eb
Als n\"achstes ist nat\"urlich das Spektrum $\sigma(\mb{T})$ des Operators von
Interesse. Dazu soll die Resolvente des Operators untersucht werden:
\bs
\label{res}
Die Resolvente $\rl(\ot)$ ist ein Integraloperator mit folgendem Kern:
\be
\rl(x,x') = \frac{u_+(x_>)u_-(x_<)}{\mb{W}(u_+,u_-)} \qquad \lambda \in
\rho(\ot)
\ee
mit $x_> = {\rm Max}(x,x') \quad x_< = {\rm Min}(x,x')$ und
\bd
\mb{W}(u_+,u_-)=(1-x^2)(u_+(x)u'_-(x)-u'_+(x)u_-(x)) \neq 0
\ed
F\"ur $u_\pm$ gilt $u_\pm,u_\pm' \in \mb{AC}_{loc}(-1,1)$, es erf\"ullt die
Differentialgleichung
\bd
\tau  u_\pm = \lambda u_\pm
\ed
und $u_+ \, (u_-)$ erf\"ullt die Randbedingung bei $+ 1 (- 1)$ f\"ur $m=0$ bzw. ist
f\"ur $m \neq 0$ in der N\"ahe von $+ 1 (- 1)$ quadratintegrierbar.
\es
\bb  Satz \ref{selbstadj} \eb
Bemerkung: Es gilt $\rl(x,x') = \rl(x',x)$ und $\rl(.,c) = \rl(c,.) \in
\mb{L}^\infty(-1,1)$ ($c \in (-1,1)$ konstant)\\
Wir beweisen nun zwei kleine Lemmata, die wir ben\"otigen.
\bl
\label{lemv}
F\"ur beliebige $V \in \lz(-1,1)$ gilt:
\be
\int\limits_{-1}^1 \!  \int\limits_{-1}^1 | V(x) \rl (x,x')|^2
dx \, dx' < \infty
\ee
\el
\bb
Aus der Darstellung (\ref{fs}) und der Tatsache, da\ss{} $u_\pm$ in der
N\"ahe von $\pm 1$ stetig ist, und da\ss{} $u_\pm$ bei $\mp 1$ nicht
stetig sein darf (da $u_\pm$ sonst in $\dbt$ liegen w\"urde und damit
Eigenfunktion w\"are), folgt:
\beas
|u_\pm| &<& const \; (1 \mp x)^\frac{m}{2} \quad \mb{f\"ur} \quad x \in \ba{c}
(0,1) \\ (-1,0) \ea \\ |u_\pm| &<& \left\{ \ba{ll} const \; \ln(1 \pm x) & m=0 \\
const \; (1 \pm x)^{-\frac{m}{2}} & m>0 \ea \right. \quad \mb{f\"ur} \quad x \in
(-1,1)
\eeas
Daraus folgt weiter durch Quadrieren:
\beas
|u_\pm|^2 &<& const \; (1 \mp x)^m \quad \mb{f\"ur} \quad x \in \ba{c} (0,1) \\
(-1,0) \ea\\ |u_\pm|^2 &<& \left\{\ba{cl} const \; \ln^2(1 \pm x) & m=0 \\ const \;
(1 \pm x)^{-m} & m>0 \ea \right. \quad \mb{f\"ur} \quad x \in (-1,1)
\eeas
Es ist nun
\beas
&& \int_{-1}^{1} |V(x)|^2 f_1(x) dx < \infty \quad \mb{mit} \quad f_1(x)=
|u_+(x)|^2 \int_{-1}^{x} |u_-(x')|^2 dx'\\
&& \int_{-1}^{1} |V(x)|^2 f_2(x) dx < \infty \quad \mb{mit} \quad f_2(x)=
|u_-(x)|^2 \int_{x}^{1} |u_+(x')|^2 dx'\\
\eeas
zu zeigen. Da $f_{1,2}$ in $(-1,1)$ stetig sind, gen\"ugt es, das Verhalten an
den Randpunkten zu untersuchen:
\beas
f_1(x) &<& const \; (1-x)^m \int_{-1}^x \ba{c} \ln^2(1-x') \\ (1-x')^{-m} \ea dx'
\quad \ba{l} m=0 \\ m>0 \ea\\
&<& const \; \hspace{5.5cm} x \in (0,1)
\eeas
\beas
f_1(x) &<& const \; \ba{l} \ln^2(1-x) \\ (1-x)^{-m} \ea \int_{-1}^x (1-x')^m dx'
\quad \ba{l} m=0 \\ m>0 \ea\\
&<& const \; \hspace{5cm} x \in (-1,0)
\eeas
$f_1$ ist also beschr\"ankt und daher gilt $|V|^2 f_1 \in \lei (-1,1)$.
Analog zeigt man $|V|^2 f_2 \in \lei(-1,1)$.
\eb
\bl
\label{lemst}
Alle Funktionen $f \in \dbt$ lassen sich stetig auf die Randpunkte
fortsetzen. \el
\bb
Sei $f \in \dbt$, dann existiert ein $g \in \lz(-1,1)$ mit
\bd
f(x) = u_+(x) \int_{-1}^x u_-(x') g(x') \, dx' + u_-(x) \int_x^1 u_+(x') g(x') \,
dx'
\ed
Wir zeigen, da\ss{} beide Summanden in der N\"ahe von 1 beschr\"ankt sind. Ein
Blick auf (\ref{dar}) zeigt, da\ss{} es gen\"ugt den Fall $m>0$ zu betrachten. Denn
zusammen mit Gleichung (\ref{fs}) folgt damit die Behauptung f\"ur $m=0,1$.
\beas
|u_+(x) \int_{-1}^x u_-(x') g(x') \, dx'| &<& const \; (1-x)^{m/2} \int_{-1}^x
(1-x')^{-m/2}  |g(x')| \, dx' \\ &<& const \; \int_{-1}^x |g(x')| \, dx' \\ &<& const
\eeas
\beas
|u_-(x) \int_x^1 u_+(x') g(x') \, dx'| &<& const \; (1-x)^{-m/2} \int_x^1
(1-x')^{m/2}  |g(x')| \, dx' \\ &<& const \; \int_x^1 |g(x')| \, dx' \\ &<& const
\eeas
Analog zeigt man, da\ss{} $f(x)$ bei $-1$ beschr\"ankt ist.
\eb
Bemerkung: Der Definitonsbereich von $\ot$ kann also auch wie folgt
charakterisiert werden:
\be
\dbt= \{ u \in \lz (-1,1) | u \in \ac (-1,1) ,\; u' \in \ac_{loc} (-1,1), \;
\tau u \in \lz (-1,1) \}
\ee
Wir k\"onnen nun zwei S\"atze beweisen:
\bs
\label{komp}
Die Resolvente des Operators $\rl(\ot)$ ist ein Hilbert--Schmidt--\-Operator
\es
\bb
Man w\"ahle in Lemma \ref{lemv} $V \equiv 1$.
\eb
Also kann man festhalten:
\bk
Es folgt insbesondere, da\ss{} die Resolvente kompakt ist, das Spektrum
rein diskret und die Eigenfunktionen vollst\"andig.
\be
\sigma (\ot) = \sigma_{disc} (\ot)
\ee
Das Spektrum ist einfach.
\ek
\bs
Sei $V \in \lz(-1,1)$ reellwertig, dann ist ${\rm V}$ relativkompakt bez\"uglich
$\ot$. Der Operator
\be
\ot +{\rm V}
\ee
ist auf $\dbt$ selbstadjungiert und f\"ur das wesentliche Spektrum gilt:
\be
\sigma_{ess}(\ot) = \sigma_{ess}(\ot+{\rm V})
\ee
Das Spektrum ist also weiterhin rein diskret und einfach.
\es
\bb
Wegen Lemma \ref{lemst} gilt $\dbt \subset \db({\rm V})$, der Rest folgt
dann aus Lemma \ref{lemv}, \cite{rs} Satz XIII.14 und den darauffolgenden
Korollaren 1 und 2.
\eb
Nun stellt sich die Frage, inwieweit diese Ergebnisse f\"ur nichtreelles
$\gamma^2$ g\"ultig bleiben. Dazu wird $\gamma^2$ in Real-- und
Imagin\"arteil zerlegt, und der Imagin\"arteil als St\"orung betrachtet:
\bea
\hat{\ot} & =  & \ot + \I {\rm M} \\ 
\hat{\tau} u & = & -((1-x^2)u' \,)'-\re(\gamma^2) (1-x^2) \, u + \frac{m^2}{1-x^2} u
- \I \, \im(\gamma^2) (1-x^2) \, u
\eea
Da M beschr\"ankt ist ($\| {\rm M} \|=1$), kann $\db(\hat{\ot})=
\dbt$ gew\"ahlt werden, und es folgt sofort, da\ss{} $\hat{\rm T}$
abgeschlossen ist, und der adjungierte Operator durch $\hat{\ot}^*= \ot -
{\rm i M}$ mit $\db (\hat{\ot}^*)=\db(\hat{\ot})$ gegeben ist \cite{wd} Satz 5.5
und Satz 4.20c. Man kann weiter schlie\ss{}en, da\ss{} die Resolvente kompakt
bleibt:
\bs
Die Resolvente von $\hat{\ot}$ ist ebenfalls ein Hilbert--Schmidt--Operator.
\es
\bb
Aus der zweiten Resolventengleichung (\cite{wd} Satz 5.13 c) folgt
\be
\label{resg}
\rl(\ot+ {\rm i \, M}) = \rl(\ot)[1-{\rm i \, M} \,  \rl(\ot+ {\rm i \, M})]
\ee
Da die Menge der Hilbert--Schmidt--Operatoren ein zweiseitiges Ideal (bez\"uglich
der beschr\"ankten Operatoren) bildet und M beschr\"ankt ist, folgt die Behauptung.
\eb
Aus der Darstellung (\ref{resg}) ersieht man auch,
da\ss{} die Voraussetzungen von \cite{gk} Satz 8.1 erf\"ullt sind:
\bs
Die verallgemeinerten Eigenfunktionen des Operators $\hat{\ot}$ sind
voll\-st\"andig.
\es
Als verallgemeinerte Eigenfunktion zum Eigenwert $\lam$ bezeichnet man
dabei Funktionen, die
\bd
(\hat{\ot}- \lam)^n u = 0 \qquad n \in \N
\ed
erf\"ullen. Nun werde der Operator noch auf Liouvillesche
Normalform transformiert (vgl. \cite{ds} S 1504, \cite{km} Absch. 3.9). Dazu
f\"uhren wir unit\"are Operatoren U ein:
\be \ba{rcl}
{\rm U}: \lz (-1,1) &\rightarrow & \lz (0,\pi) \\ u(x) & \mapsto &
f(\vartheta)=({\rm U} u)(\vartheta) = \sqrt[4]{1-x^2(\vartheta)} \, u(x(\vartheta))  
\ea \ee
mit \bd
\vartheta(x)= \frac{\pi}{2}+ \int^{x}_{0} \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}} = \arccos (-x)
\quad \Rightarrow \quad x = - \cos \vartheta
\ed
also
\bd
f(\vartheta)= \sqrt{\sin \vartheta} \, u(-\cos \vartheta)
\ed
\be
\label{lt}
\tilde{\tau}= {\rm U}  \tau {\rm U}^{-1} = -\frac{d^2}{d\vartheta^2}-\frac{1}{4}-
\gamma^2 \sin^2 \vartheta + \frac{m^2-\frac{1}{4}}{\sin^2 \vartheta}
\ee
Die Randbedingung (\ref{rbse}) geht \"uber in
\bd
\lim_{\vartheta \to 0,\pi} \sqrt{\sin \vartheta}(f'(\vartheta)-\frac{f(\vartheta)}
{2 \sin \vartheta}) = 0
\ed
Man beachte, da\ss{} die charakteristischen Exponenten von (\ref{lt}) durch
$\rho_{1,2}=
\frac{1}{2} \pm m$ gegeben sind. Somit haben wir f\"ur $\tilde{\ot}$:
\be
\ba{rcl}
\tilde{\ot}: \db(\tilde{\ot}) &\rightarrow &
\lz (0,\pi) \\ f & \mapsto & \tilde{\ot} f = {\tau f} = - f''-(\frac{1}{4}+
\gamma^2 \sin^2 \vartheta - {\D \frac{m^2-\frac{1}{4}}{\sin^2 \vartheta} }) f  
\ea \ee
\be
\ba{ll}
\db(\tilde{\ot})= \{ f \in \lz (0,\pi) | & f \in \acel  (0,\pi) ,\;
\tilde{\tau} f \in \lz (0,\pi) , \\  & \lim_{\vartheta \to 0,\pi} \sqrt{\sin \vartheta}
(f'(\vartheta)-\frac{f(\vartheta)}{2 \sin \vartheta}) = 0 \\ &\mb{f\"ur } m=0 \}
\ea
\ee
Nun fehlen noch die Eigenfunktionen und Eigenwerte. Die Darstellung
folgt \cite{mx} und \cite{mf}, die Bezeichnungen stimmen im wesentlichen mit
\cite{mf} \"uberein. Aus der Kompaktheit der Resolvente (Satz \ref{komp})
folgt sofort, da\ss{} die Eigenwerte abz\"ahlbar sind und keinen endlichen
H\"aufungspunkt besitzen. Sie werden mit $\lambda^m_n(\gamma)$ bezeichnet
und k\"onnen nach Potenzen von $\gamma^2$ entwickelt werden:\footnote{Man
beachte, da\ss{} der Unterschied zwischen $\lambda^m_n(\gamma)$ bei \cite{mf}
und hier $\gamma^2$ betr\"agt!}
\be
\ba{rcl} \lambda^m_n(\gamma)& = & n(n+1) -\D \frac{1}{2} \left[ 1+
\frac{(2m-1)(2m+1)}{(2n-1)(2n+3)} \right] \gamma^2 + O(\gamma^4)
\hspace*{0.5cm}\\ & & \\ & &\hfill n= m,m+1, m+2, \dots
\ea \ee
F\"ur weitere Glieder sei auf \cite{mx} S 240 Gl. (10) verwiesen. Die
dazugeh\"origen Eigenfunktionen werden wie folgt bezeichnet:
\be
S^m_n(\gamma,x) \qquad S^m_n(0,x) =P^m_n(x) 
\ee
($P^m_n(x)$ bezeichnet die zugeordneten Legendrepolynome.) Sie sind mit $n-m$
gerade bzw. ungerade
\be
S^m_n(\gamma,-x) = (-1)^{n-m} \, S^m_n(\gamma,x)
\ee
und $S^m_n(\gamma,x)$ besitzt genau $n-m$ Nullstellen. Es erweist sich als
zweckm\"a\ss{}ig, sie nach zugeordneten Legendrepolynomen zu entwickeln:\\
\be
\label{reihes}
S^m_n(\gamma,x) = \left\{ \ba{ll} \sum\limits_{\ell=0}^\infty d_{2\ell}(\gamma,m,n)
P^m_{m+2\ell}(x) & n-m \mb{ gerade}\\ \sum\limits_{\ell=0}^\infty
d_{2\ell+1}(\gamma,m,n) P^m_{m+2\ell+1}(x) & n-m \mb{ ungerade}\ea \right.
\ee
F\"ur die Entwicklungskoeffizienten findet man durch Einsetzen von (\ref{reihes})
in die Differentialgleichung folgende Rekursionsrelation:\footnote{Man beachte,
da\ss{} zwar die Rekursionsrelation nicht, die $d_\ell(\gamma,m,n)$ dennoch mit
\cite{mf} \"uber\-ein\-stimmen!}
\bea
\nn \frac{\ell(\ell-1)\gamma^2}{(2\ell+2m-1)(2\ell+2m-3)}d_{\ell-2}+
\frac{(\ell+2m+1)(\ell+2m+2)\gamma^2}{(2\ell+2m+3)(2\ell+2m+5)}d_{\ell+2}-\\
\left[ \frac{2(\ell+m)(\ell+m+1)-m^2+2}{(2\ell+2m+3)(2\ell+2m-1)}\gamma^2
-(\ell+m)(\ell+m+1) + \lambda \right] d_\ell =0
\eea
Daraus ersieht man das asymptotische Verhalten der Koeffizienten:
\be
\frac{d_\ell}{d_{\ell-2}} \approx -\left( \frac{\gamma}{2 \ell} \right)^{\pm 2}
\ee
F\"ur uns ist nat\"urlich nur der negative Exponent von Interesse. W\"ahlt man f\"ur
$\lambda = \lambda^m_n(\gamma)$, so erh\"alt man $d_\ell(\gamma,m,n)$, die wie
folgt normiert werden:\footnote{Man beachte, da\ss{} diese Normierung in der
Literatur alles andere als einheitlich ist!}\\
\bmp{12cm} \hspace*{1cm}
\beas
\sum_{\ell=0}^\infty \frac{(2\ell+2m)!}{{2\ell}!} d_{2\ell}(\gamma,m,n) &=&
\frac{(n+m)!}{(n-m)!} \quad n-m \mb{ gerade}\\
\sum_{\ell=0}^\infty \frac{(2\ell+2m+1)!}{{2\ell}!} d_{2\ell+1}(\gamma,m,n) &=&
\frac{(n+m)!}{(n-m)!} \quad n-m \mb{ ungerade}
\eeas \emp \hfill \bmp{2cm} \be \ee \emp\\[3mm]
Die Funktionen $S^m_n(\gamma,x)$ k\"onnen auch nach Potenzen von $\gamma^2$
entwickelt werden (vgl. \cite{mx} \cite{mf}).
\bs
Die Sph\"aroidfunktionen $S^m_n(\gamma,x)$ bilden f\"ur jedes $m \in \N_0$ und
jedes $\gamma^2 \in \R$ ein vollst\"andiges Orthogonalsystem. Es gilt also f\"ur
beliebige Funktionen $f(x) \in {\rm L}^2(-1,1)$:
\es
\bea
f(x)= \sum_{n=m}^\infty \frac{S^m_n(\gamma,x)}{\Lambda^m_n (\gamma)}
\int \limits_{-1}^{1} S^m_n(\gamma,\xi) f(\xi) d\xi \\ 
\int \limits_{-1}^{1} S^m_n(\gamma,\xi) S^m_{n'}(\gamma,\xi) d\xi =
\Lambda^m_n (\gamma) \delta_{n,n'}
\eea
\bb
Der Satz ist eine direkte Folgerung aus der Selbstadjungiertheit (Satz \ref{sase})
und Korollar \ref{komp}.
\eb
Eine zweite (linear unabh\"angige) L\"osung erh\"alt man, wenn die $P^m_n(x)$
durch zugeordnete Legendrefunktionen zweiter Art $Q^m_n(x)$ ersetzt werden. Ist
$m$ negativ, so wird
\be
S^m_n(\gamma,x) = S^{-m}_n(\gamma,x)
\ee
festgelegt.

\section{Untersuchung des $J(\xi)$--Anteils}

Es soll nun der letzte Operator (Gl. (\ref{sep1})), der dem Radialteil des
kugelsymmetrischen Falls entspricht, untersucht werden: \be
\ba{rcl}
\ot: \dbt \subset \lz ((1,\infty);a^2(x^2-1)) &\rightarrow &
\lz ((1,\infty);a^2(x^2-1)) \\ u & \mapsto & \ot u = \tau u\\  
\ea\\ \ee
\be
\tau u = \frac{1}{a^2(x^2-1)} \left[ -((x^2-1)u' \,)'+\lambda \, u + \frac{m^2}{x^2-1}
u \right] \qquad \lambda \in \R , m^2 \in \N_0
\ee
Wir f\"uhren zun\"achst die Transformation auf Liouvillesche Normalform durch.
Dazu f\"uhren wir wieder unit\"are Operatoren U ein:
\be \label{untrj} \ba{rcl}
{\rm U}: \lz ((1,\infty);a^2(x^2-1)) &\rightarrow & \lz (0,\infty) \\ u(x) &
\mapsto & f(y)=({\rm U} u)(y) = \sqrt{x^2(y)-1} \, u(x(y))  
\ea \ee
mit \bd
y(x)= a \int^{x}_{1} \frac{\sqrt{t^2-1}}{\sqrt{t^2-1}} dt = a x - a \quad \Rightarrow
\quad x= \frac{y}{a} +1
\ed
also
\bd
f(y)= \frac{\sqrt{y(y+2a)}}{a} \, u(\frac{y}{a}+1)
\ed
\be
\label{llt}
\tilde{\tau}= {\rm U}  \tau {\rm U}^{-1} =-\frac{d^2}{dy^2} +
\frac{\lambda}{y(y+2a)} + a^2 \frac{m^2-1}{y^2(y+2a)^2}
\ee
Man beachte, da\ss{} f\"ur $a = 0$ Gleichung (\ref{llt}) in den Radialteil der freien
Schr\"odingergleichung \"ubergeht.
Der Differentialausdruck $\tilde{\tau}$ besitzt zwei singul\"are Punkte
bei $y=0$ und $y=\infty$. Es stellt sich daher wieder die Frage nach geeigneten
Randbedingungen. Anwendung des Kriteriums (\ref{krit}) am Punkt $y=0$ ergibt:
\bd
k(y) \equiv 1, \quad p(y) \equiv 1, \quad q(y) = \frac{\lambda}{y(y+2a)} + a^2 
\frac{m^2-1}{y^2(y+2a)^2}
\ed
\bd
\sigma=0, \; n_0=2, \; p_0=1, \; q_0= \frac{m^2-1}{4} \quad \Rightarrow \quad
m^2<2
\ed
Also gilt:
\bd
m<\sqrt{2} \quad \Rightarrow \quad \left\{ \ba{rcl}
m=0,1 & : & \mb{Grenzkreisfall}\\ m >1 & : & \mb{Grenzpunktfall} \ea \right.
\qquad m \in \N_0
\ed
F\"ur $m=0,1$ ist bei $y_0=0$ eine zus\"atzliche Randbedingung notwendig. Es wird
wiederum das Verhalten der L\"osungen von
\be
\label{dglr} \tilde{\tau} f = k^2 f
\ee
in der N\"ahe des Punktes $y_0=0$ untersucht. Die Gleichung f\"ur die
charakteristischen Exponenten lautet:
\be
\label{charexprad}
\rho^2 - \rho + b_0 = \rho^2 - \rho +\frac{1-m^2}{4} = 0 \quad \Rightarrow \quad
\rho_{2,1} = \frac{1 \pm m}{2}
\ee
mit $b_0= \lim\limits_{y \to 0} y^2 (k^2-q(y)) = \frac{1-m^2}{4}$\\
Es gilt $\rho_2-\rho_1= m \in \N_0$, daher gibt es ein
Fundamentalsystem der Form (\ref{fs}):
\be
\label{fsrad}
\bmp{11cm}
\beas
f_1(y) &=& y^{(1+m)/2} \sum^\infty_{\ell=0} c_\ell \, y^\ell \\
f_2(y) &=& y^{(1-m)/2} \sum^\infty_{\ell=0} d_\ell \, y^\ell + c \,
f_1(y) \ln(y)
\eeas
\emp
\ee 
Die Randbedingung wird analog zur Vorgangsweise beim $S(\eta)$--Anteil
gew\"ahlt. Und zwar so, da\ss{} $u(y/a+1) = a \, f(y)/\sqrt{y(y+2a)}$ stetig ist (vgl.
Argumentation beim $\Theta(\vphi)$--Anteil).\\
\bmp{12cm}
\beas
m=0 : \quad W(f_1,f)_0 = 0 & \Rightarrow & \lim_{y\to 0}
\frac{1}{\sqrt{y}}(f-2 y f')=0\\ m=1 : \quad W(f_1,f)_0 = 0 & \Rightarrow &
\lim_{y\to 0} (f-y f')=0
\eeas
\emp \hfill \bmp{2cm} \bea \eea \emp\\[3mm]
Die Randbedingung f\"ur $m=1$ kann durch $f(0)=\lim_{y\to 0} f(y)=0$ ersetzt
werden (vgl. \ref{dar}). Es verbleibt, den Endpunkt $y=\infty$ zu untersuchen. Wir
schreiben die Gleichung (\ref{dglr}) in der folgenden Form:
\bd
f'' +(k^2 - q)f=0
\ed
Da $q(y) \in \lei(1,\infty)$ gilt, kann daraus f\"ur $k \ne 0$ das asymptotische
Verhalten der L\"osung abgelesen werden:
\bs
\label{asymt}
F\"ur $k \ne 0$ gibt es zwei linear unabh\"angige L\"osungen der Gleichung
(\ref{dglr}) mit folgendem asymptotische Verhalten:\footnote{$f(x)= o(g(x))
\Leftrightarrow \lim_{x \to x_0}|f(x)/g(x)|=0$ \ldots Landausymbol}
\be
f_\pm (y) = {\rm e}^{\D \pm \I k y} (1 + o(1)) \qquad \mb{ f\"ur } y \to \infty
\ee
\es
\bb
$f_{1,2}$ und $f_{+,-}$ k\"onnen nat\"urlich nicht linear unabh\"angig sein, es
mu\ss{} also jedes Paar als Linearkombination des anderen darstellbar sein.\\
Das folgt aus \cite{ne} Satz 22.7, da die Gleichung $\rho^2 -k^2 =0$ f\"ur $k^2
\ne 0$ zwei L\"osungen $\rho_{1,2}$ mit verschiedenen Realteilen $\re(\rho_1) \ne
\re(\rho_2)$ besitzt und $q \in \lei (1,\infty)$ liegt. (Vergleiche auch
\cite{km} \cite{ch}.)
\eb
F\"ur $k \ne 0$ liegt also h\"ochstens eine L\"osung in $\lz (1,\infty)$, und es liegt
f\"ur $y=\infty$ immer der Grenzpunktfall vor (dies folgt auch aus \cite{ds} Teil 2
Satz XIII 6.16 da $q(y)$ beschr\"ankt ist). Es kann f\"ur $k>0$ also auch keine
Eigenwerte geben. Wir k\"onnen somit den Definitionsbereich f\"ur $\tilde{\ot}$
vollst\"andig angeben: \be \ba{ll}
\db(\tilde{\ot})= \{ f \in \lz (0,\infty) | & f \in \acel (0,\infty)
,\; \tilde{\tau} f \in \lz (0,\infty) ; \\  &\lim_{y\to 0} (f-2 y f')/\sqrt{y}=0
\mb{ f\"ur } m=0; \\ & \lim_{y\to 0} f(y)=0 \mb{ f\"ur } m=1\}
\ea
\ee
Es kann wiederum folgender Satz formuliert werden:
\bs
Der Operator $\tilde{\ot}$ ist auf $\db(\tilde{\ot})$ selbstadjungiert.
\es
\bb Satz \ref{selbstadj} \eb
Als n\"achstes ist nat\"urlich das Spektrum von Interesse. Aufgrund der Form
von $q(y)$ ist zu erwarten, da\ss{} der Operator T durchaus Eigenwerte besitzt.
Diese sind f\"ur uns aber nicht von Interesse, da $\lambda$ eigentlich von $k^2$
abh\"angt. Wir beschr\"anken uns daher auf das wesentliche Spektrum und
hoffen, da\ss{} es von $\lambda$ unabh\"angig ist. 
\bs
\label{spekj}
F\"ur das wesentliche Spektrum des Operators {\rm T} gilt:
\be
\sigma_{ess}(\ot) = [0,\infty) \qquad \sigma_{ac}(\ot) = [0,\infty) \qquad
\sigma_{sc}(\ot) = \emptyset
\ee
Das Spektrum ist in $\R \backslash \{0\}$ einfach (insgesamt h\"ochstens
zweifach).
\es
\bb
Wir zerlegen $(0,\infty) = (0,c) \cup (c,\infty)$ mit $0 < c < \infty$, schr\"anken
den Operator T auf $(0,c)$ bzw. $(c,\infty)$ ein und bezeichnen ihn mit $\ot_-$ bzw.
$\ot_+$. Der Randpunkt $c$ ist sicher regul\"ar. Es gilt nun $\sigma_{ess}(\ot) =
\sigma_{ess}(\ot_-) \cup \sigma_{ess}(\ot_+)$ unabh\"angig von den
Randbedingungen bei $c$ (Satz \ref{zerl}). Aus
\bd
\lim_{y \to \infty} q(y) = 0
\ed
und \cite{ds} Teil 2,XIII.7 Satz 16 folgt $\sigma_{ess}(\ot_+) = [0,\infty)$. Aus
Satz \ref{einschr} folgt $\sigma_{ess}(\ot_-) = \emptyset$. Insgesamt erhalten
wir also:
\bd
\sigma_{ess}(\ot)=[0,\infty)
\ed
Da $q \in {\rm L}^1(c,\infty)$, und jede L\"osung von (\ref{dglr}) nur endlich viele
Nullstellen in $(0,c)$ besitzen kann (reelle charakteristische Exponenten), folgt aus
\cite{wd1} Satz 5.1, da\ss{} das Spektrum in $(0,\infty)$ einfach und absolut stetig
ist:
\bd
\sigma_{ac}(\ot) \subset (0,\infty)
\ed 
Da $\sigma_{ac}(\ot)$ abgeschlossen ist, und $\sigma_{ac}(\ot) \subset
\sigma_{ess}(\ot)$ gilt, folgt weiter:
\bd
\sigma_{ac}(\ot) = [0,\infty)
\ed
Wegen $\sigma_{sc}(\ot) \subset \sigma_{ess}(\ot)$ und der Einfachheit des
Spektrums in $(0,\infty)$ mu\ss{} $\sigma_{sc}(\ot) \subset \{0\}$ sein. W\"are
$\sigma_{sc}(\ot)= \{0\}$, dann h\"atte $\ot_{sc}= \ot |_{\hr_{sc}}$ bei 0 einen
Eigenwert im Widerspruch zur Stetigkeit:
\bd
\sigma_{sc}(\ot) = \emptyset
\ed
Damit sind alle Behauptungen bewiesen. 
\eb
Befriedigende Aussagen \"uber das Punktspektrum k\"onnen nur unter
Ber\"ucksichtigung von $\lam= \lam^m_n(\gamma)$ gemacht werden. Wir
betrachten dazu die urspr\"ungliche Gleichung in der gesamten komplexen Ebene:
\be
\label{dglz}
\frac{d}{dz}(z^2-1)\frac{d}{dz} J - [\lam^m_n(\gamma) - \gamma^2 (z^2-1) +
\frac{m^2}{z^2-1}] J = 0 \qquad z \in \C
\ee
F\"ur $k^2>0$ gibt es nach dem vorigen Satz keine Eigenwerte. Sei nun $k^2<0$ und
$J(z) \not\equiv 0$ eine bei $z=1$ stetige L\"osung der obigen Gleichung. Da die
Eigenwerte $\lam^m_n(\gamma)$ gerade so definiert sind, da\ss{} die bei $z=1$
stetige L\"osung auch bei $z=-1$ stetig ist, folgt die Stetigkeit von $J(z)$ bei
$z=-1$. Da (\ref{dglz}) nicht vom Vorzeichen von $z$ abh\"angt, ist $J(-z)$ wieder
eine bei $z=\pm 1$ stetige  L\"osung. Da es aber (bis auf ein Vielfaches) nur eine
solche L\"osung geben kann, folgt $J(-z)= \pm J(z)$. Aus Satz \ref{asymt} und
Gleichung (\ref{untrj}) folgt, da\ss{} sich jede L\"osung von (\ref{dglz})
asymptotisch f\"ur $|z| \to \infty$ wie $(A \exp(\I k a z) + B \exp(-\I k a z) )/
\sqrt{z^2-1}$ verh\"alt ($A,B \in \C$). F\"ur $J(z)$ folgt sofort $A= \pm B \ne 0$.
$J(z)$ kann also nicht quadratintegrabel sein, und es gibt keine Eigenfunktionen
f\"ur $k^2<0$. F\"ur $k^2=0$ ist $\gamma=0$ und $\lam^m_n(\gamma)=n(n+1)$ und
die Gleichung stimmt mit der Legendregleichung \"uberein. Die bei $z=1$ stetige
L\"osung der  Legendregleichung ist aber eine Polynom und daher sicher nicht
quadratintegrabel.\\ Wir wollen nun die L\"osungen der Gleichung
\be
\tilde{\tau} f = k^2 f
\ee
untersuchen. Wir bezeichnen jene L\"osung,  die bei $y=0$ die Randbedingung
erf\"ullt, mit:
\be
je^m_\lambda(k,y)
\ee
Sie kann f\"ur $k^2 \in \R$ reell gew\"ahlt werden (da $\ol{je^m_\lambda(k,y)}$
ebenfalls die Randbedingung erf\"ullt, also linear abh\"angig ist!). Insbesondere
k\"onnen wir sie f\"ur $k \in \R \backslash \{ 0 \}$ so normieren, da\ss{} f\"ur $y
\to
\infty$ gilt (Beachte Satz \ref{asymt}):
\be
je^m_\lambda(k,y)  \to  \cos(k y - \delta(\lambda,k)) \qquad \mb{ f\"ur } y \to
\infty
\ee
Eine zweite L\"osung bezeichnen wir mit: \be
ne^m_\lambda(k,y)
\ee
und w\"ahlen sie so, da\ss{} f\"ur $y \to \infty$ gilt:
\be
ne^m_\lambda(k,y)  \to  \sin(k y - \delta(\lambda,k)) \qquad \mb{ f\"ur } y \to
\infty
\ee
Ihre Wronski--Determinante ist wegen (\ref{wdkonst}) konstant und kann aus dem
asymptotischen Verhalten ablesen werden: \be
\label{wrd}
je^m_\lambda(k,y)  ne^m_\lambda(k,y)' - je^m_\lambda(k,y)'  ne^m_\lambda(k,y) = k
\ee
Weiters definieren wir noch eine dritte L\"osung:
\be
he_\lambda^m(k,y)=je_\lambda^m(k,y) + \I \, ne_\lambda^m(k,y)
\ee
mit
\be
\label{ashe}
he^m_\lambda(k,y)  \to  \exp(\I k y  - \I \delta(\lambda,k)) \qquad \mb{ f\"ur }
y \to \infty
\ee
Die Funktionen sind dabei bis auf das Vorzeichen eindeutig festgelegt.
Ist $k \in \C \backslash \R$, so ist diese Vorgansweise nicht mehr m\"oglich. Wir
bezeichnen jene L\"osung,  die bei $y=0$ die Randbedingung erf\"ullt weiter mit
$je^m_\lambda(k,y)$ und legen $he^m_\lambda(k,y)$ durch ihr asymptotisches
Verhalten (\ref{ashe}) fest (f\"ur $k^2 \ne 0$). Sind beide linear unabh\"angig, so
fordern wir:
\be
\label{wrd2}
je^m_\lambda(k,y)  he^m_\lambda(k,y)' - je^m_\lambda(k,y)'  he^m_\lambda(k,y) =
\I k
\ee
In diesem Fall sind beide Funktionen wieder bis auf das Vorzeichen eindeutig
festgelegt. W\"ahlt man f\"ur $\lambda$ speziell die Werte $\lambda_n^m$, so
erh\"alt man die radialen "`Eigenfunktionen"'. Sie werden mit
\be
je^m_n(k,y) \hspace{2cm} ne^m_n(k,y)
\ee
bezeichnet, und man kann zeigen \cite{mf}, da\ss{} f\"ur ihr asymptotisches
Verhalten gilt: \bea
\nn je^m_n(k,y) & \to &  \cos \left(k y
-\frac{\pi}{2}(n+1) + \gamma \right) \qquad \mb{ f\"ur } y \to \infty\\ \\
\nn ne^m_n(k,y) & \to & \sin \left(k y
-\frac{\pi}{2}(n+1) + \gamma \right) \qquad \mb{ f\"ur } y \to \infty
\eea
Unter Verwendung von Zusammenh\"angen zwischen zugeordneten Legendre- und
sph\"arischen Besselfunktionen kann die Reihe (\ref{reihes}) umgeformt werden
\cite{mf}:
\bea \nn je^m_n(k,y) = k \frac{(n+m)!}{(n-m)!}
\frac{(y^2+2 a y)^{\frac{m+1}{2}}}{(y+a)^m} \times \hspace*{5cm} \\
\sum_{\ell=0}^\infty \I^{2\ell+m-n} d_{2\ell}(\gamma,m,n) j_{2\ell+m}(k y+\gamma)
\hspace{1.5cm} n-m \mb{ gerade} \hspace*{2.2ex} \\ \nn\sum_{\ell=0}^\infty {\rm
i}^{2\ell+m-n+1} d_{2\ell+1}(\gamma,m,n)  j_{2\ell+m+1}(k y+\gamma)  \quad n-m
\mb{ ungerade}
\eea
wobei $j_\ell(x)$ die sph\"arische Besselfunktion $l$-ter Ordnung bezeichnet.
Ersetzt man $j_\ell(x)$ durch $n_\ell(x)$ (sph\"arische Neumannfunktion), so
erh\"alt man eine Reihe f\"ur $ne^m_n(k,x)$, die jedoch nur als asymptotische Reihe
zu verstehen ist. Eine Entwicklung nach Potenzen von $\gamma^2$ ist wiederum
m\"oglich \cite{mf}. Zum Schlu\ss{} kann analog zu Satz \ref{res} die Resolvente
des Operators $\ot$ angegeben werden:
\bs
Die Resolvente $\rk(\ot)$ ist ein Integraloperator mit folgendem Kern:
\be
\label{resk}
\rk(y,y') = \frac{\I}{k} je_\lambda^m(k,y_>) \,  he_\lambda^m(k,y_<) \qquad
k \in \rho(\ot)
\ee
mit $y_> = {\rm Max}(y,y') \quad y_< = {\rm Min}(y,y')$. \es
\bb Satz \ref{selbstadj} \eb
Bemerkung: Es gilt $\rk(y,y') = \rk(y',y)$ und $\rk(.,c) = \rk(c,.) \in \lei (0,\infty)
\cap \mb{L}^\infty(0,\infty)$ ($c \in (0,\infty)$ konstant).\\
Wir beweisen nun wieder zwei kleine Lemmata, die wir ben\"otigen.
\bl
\label{lemvv}
F\"ur beliebige $V$ mit ${\rm Min}(1,\sqrt{y})V(y) \in \lz(0,\infty)$ gilt:
\be
\int\limits_0^\infty \!  \int\limits_0^\infty | V(y) \rk (y,y')|^2
dy \, dy' < \infty
\ee
\el
\bb
Aus Gleichung (\ref{fsrad}) und Satz \ref{asymt} folgt:
\bd \ba{c@{\; < \;}l@{\qquad \mb{f\"ur } }l}
|je_\lam^m(k,y)| & const \; y^{(1+m)/2} & y \in (0,1)\\
|je_\lam^m(k,y)| & const \; \mb{e}^{\im(k) y} & y \in (0,\infty) \\
|he_\lam^m(k,y)| & \left\{ \ba{l@{\quad}l} const \; \sqrt{y} \ln y & m=0 \\ const \;
y^{(1-m)/2} & m>0 \ea \right. & y \in (0,\infty) \\ |he_\lam^m(k,y)| & const \;
\mb{e}^{-\im(k) y}  & y \in (1,\infty)\\ \ea \ed
Daraus folgt weiter durch Quadrieren:
\bd \ba{c@{\; < \;}l@{\qquad \mb{f\"ur } }l}
|je_\lam^m(k,y)|^2 & const \; y^{1+m} & y \in (0,1)\\
|je_\lam^m(k,y)|^2 & const \; \mb{e}^{2 \im(k) y} & y \in (0,\infty) \\
|he_\lam^m(k,y)|^2 & \left\{ \ba{l@{\quad}l} const \; y \ln^2 y & m=0 \\ const \;
y^{1-m} & m>0 \ea \right. & y \in (0,\infty) \\ |he_\lam^m(k,y)|^2 & const \;
\mb{e}^{-2 \im(k) y}  & y \in (1,\infty)\\ \ea \ed
Es ist nun
\beas
\int_0^\infty |V(y)|^2 f_1(y) dy < \infty \quad \mb{mit} \quad f_1(y)=
|he_\lam^m(k,y)|^2 \int_0^y |je_\lam^m(k,y')|^2 dy'\\
\int_0^\infty |V(y)|^2 f_2(y) dy < \infty \quad \mb{mit} \quad f_2(y)=
|je_\lam^m(k,y)|^2 \int_y^\infty |he_\lam^m(k,y')|^2 dy'\\
\eeas
zu zeigen. Da $f_{1,2}$ in $(0,\infty)$ stetig sind, gen\"ugt es, das Verhalten
an den Randpunkten zu untersuchen:
\beas
f_1(y) &<& const \; \ba{c} y\ln^2(1-y) \\ y^{1-m} \ea \int_0^y y'^{1+m}
dy' \qquad \ba{l} m=0 \\ m>0 \ea\\
&<& const \; y \hspace{6cm} y \in (0,1)
\eeas
\beas
f_1(y) &<& const \;  \mb{e}^{-2 \im(k) y} \int_0^y \mb{e}^{2 \im(k) y'} dy' \\
&<& const \hspace{6.3cm} y \in (1,\infty)
\eeas
Es gilt also $|V|^2 f_1 \in \lei (0,\infty)$. Analog zeigt man $|V|^2 f_2 \in
\lei (0,\infty)$.
\eb
\bl
\label{lemstst}
Alle Funktionen $f \in \dbt$ lassen sich stetig auf die Randpunkte
fortsetzen. F\"ur $y \to 0$ gilt $f(y)=O(\sqrt{y})$\footnote{$f(x)= O(g(x))
\Leftrightarrow \limsup_{x \to x_0}|f(x)/g(x)|= const$ \ldots Landausymbol}
\el
\bb
Sei $f \in \dbt$, dann existiert ein $g \in \lz(0,\infty)$ mit
\bd
f(y) = he_\lam^m(k,y) \int_0^y je_\lam^m(k,y') g(y') \, dy' + je_\lam^m(k,y)
\int_y^\infty he_\lam^m(k,y') g(y') \, dy'
\ed
Wir zeigen zuerst, da\ss{} beide Summanden in der N\"ahe von 0 unsere Bedingung
erf\"ullen Ein Blick auf Gleichung (\ref{dar}) zeigt, da\ss{} es gen\"ugt den Fall
$m>1$ zu betrachten. Denn zusammen mit Gleichung (\ref{fsrad}) folgt damit die
Behauptung f\"ur $m=0,1$.
\beas
|he_\lam^m(k,y) \int_0^y je_\lam^m(k,y') g(y') \, dy'| &<& const \; y^{(1-m)/2}
\int_0^y y'^{(1+m)/2}  |g(y')| \, dy' \\ &<& const \; y \int_0^y |g(y')| \, dy'
\hspace{1.5cm} y \in (0,1)
\eeas
\beas
|je_\lam^m(k,y) \int_y^\infty he_\lam^m(k,y') g(y') \, dy'| &<& const \; y^{(1+m)/2}
\Big( \int_y^1 y'^{(1-m)/2}  |g(y')| \, dy' \\ && \hspace{2cm} + \int_1^\infty 
\mb{e}^{-2 \im(k) y} |g(y')| \, dy' \Big) \\ &<& const \; y \hspace{4cm} y \in (0,1)
\eeas
F\"ur den Endpunkt $\infty$ gilt:
\bd
f'' = (q-k^2)f-g  \in \lz(1,\infty)
\ed
Aus \cite{wd} Satz 6.27 folgt damit: $\lim_{y \to \infty} f(y) =0$.
\eb
Wir k\"onnen nun zwei S\"atze beweisen:
\bs
\label{einschr}
Jede (selbstadjungierte)  Einschr\"ankung $\ot_-$ von $\ot$ auf ein endliches
Intervall $(0,c)$ (mit $c>0$) f\"uhrt zu einer Hilbert--Schmidt--Resolvente
und zu einem rein diskreten (einfachen) Spektrum
$\sigma(\ot_-)=\sigma_{disc}(\ot_-)$ (unabh\"angig von den Randbedingungen bei
$c$). \es
\bb
Man w\"ahle in Lemma \ref{lemvv} $V \equiv 1$ und \"ubernehme die
Absch\"atzung f\"ur den Randpunkt 0. Der Randpunkt $c$ ist regul\"ar und bereitet
daher keine Schwierigkeiten. $he_\lam^m(k,y)$ ist nat\"urlich durch eine
Linearkombination von $je_\lam^m$ und $he_\lam^m$ zu ersetzen, die die
Randbedingung bei $c$ erf\"ullt.
\eb
\bs
\label{relkomp}
Sei $V$ reellwertig mit ${\rm Min}(1,\sqrt{y}) V(y) \in \lz(0,\infty)$, dann ist
${\rm V}$ relativkompakt bez\"uglich $\ot$. Der Operator
\be
\ot +{\rm V}
\ee
ist auf $\dbt$ selbstadjungiert und f\"ur das wesentliche Spektrum gilt:
\be
\sigma_{ess}(\ot+{\rm V}) = \sigma_{ess}(\ot)=[0,\infty)
\ee
Liegt $V$ noch zus\"atzlich in $\lei (0,\infty)$, so gilt:
\be
\sigma_{ac}(\ot+{\rm V})=[0,\infty) \qquad \sigma_{sc}(\ot+{\rm V})=\emptyset
\ee
Das Spektrum ist in $\R \backslash \{0\}$ einfach.
\es
\bb
Wegen Lemma \ref{lemstst} gilt $\dbt \subset \db({\rm V})$ und wegen Lemma
\ref{lemvv} ist {\rm V} relativkompakt. Die Aussage \"uber das wesentliche
Spektrum folgt dann aus Lemma \ref{lemvv}, \cite{rs} Satz XIII.14 und den
darauffolgenden Korollaren 1 und 2, der Rest aus \cite{wd1} Satz 5.1.
\eb

%
% Kapitel 2
%

\chapter{Delta--Wechselwirkung in sph\"aroidalen Koordinaten}

\section[Zerlegung des Raumes $\lz({\Bbb R}^3)$]{Zerlegung
des Raumes $\lz(\mb{\Symb R}^3)$}

Der geeignete Hilbertraum f\"ur sph\"aroidale Koordinaten ist wegen
Gleichung (\ref{dv}) durch
\be
\label{hrspko}
\hr_1 = \lz(\Omega;\xi^2-\eta^2) \qquad
\Omega=(1,\infty)\times (-1,1) \times (0,2 \pi)
\ee
gegeben. Wir f\"uhren zun\"achst den \"Ubergang von kartesischen auf
sph\"aroidale Koordinaten mit Hilfe einer unit\"aren Transformation $\hat{\rm
U}$ durch:
\bea
\nn \hat{\rm U}: \quad \lz(\R^3) &\rightarrow & \hr_1\\ \Psi(x,y,z) &
\mapsto & \hat{\Psi}(\xi,\eta,\varphi)=({\rm U} \Psi)(\xi,\eta,\varphi) = \\
\nn && \Psi(a \sqrt{(\xi^2 - 1)(1 - \eta^2)} \cos \varphi,
a \sqrt{(\xi^2 - 1)(1 - \eta^2)} \sin \varphi,a \xi \eta)
\eea
Weiters f\"uhren wir den Hilbertraum
\be
\hr_2 =\lz(\Omega; \xi^2-1)
\ee
ein und halten fest, da\ss{} wegen
\bd
\forall (\xi,\eta,\varphi) \in \Omega : \quad 0 \le \xi^2 -1 \le \xi^2 -\eta^2
\Rightarrow \hspace*{1cm} \ed \bd \hspace*{4cm} \int_\Omega |f|^2
(\xi^2-1) d\omega \le \int_\Omega |f|^2  (\xi^2-\eta^2) d\omega
\ed
mit $ d\omega = d\xi \, d\eta \, d\varphi$\\
aus $f \in \hr_1$ auch $f \in \hr_2$ folgt:
\be
\hr_1 \subset \hr_2
\ee
Die Umkehrung  gilt offenbar nicht -- betrachte
$f=\exp(-\xi)/\sqrt{\xi^2-1}$ ! Der Raum $\hr_2$ ist isomorph zum
Tensorprodukt (vgl. z.B. \cite{pr} Satz II 6.9)
\be
\label{hrtp}
\hr_2 \simeq
\lz((1,\infty);\xi^2-1) \otimes \lz(-1,1) \otimes \lz(0,2\pi)
\ee
der Teilr\"aume des $J(\xi),S(\eta)$ und $\Theta(\vphi)$--Anteils. Und da die
Funktionen $\exp({\rm i} m \varphi)$ und $S^m_n(\gamma,\eta)$ vollst\"andige
Orthogonalsysteme f\"ur $\lz(0,2 \pi)$ und $\lz(-1,1)$ bilden, ist
\be
Y\!S^m_n(\gamma,\eta,\varphi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\Lambda^m_n}
S^m_n(\gamma,\eta) {\rm e}^{\D {\rm i} m \varphi} \qquad n \in \N_0, m \in
\Z, m \le n
\ee
ein vollst\"andiges Orthonormalsystem f\"ur $\lz(-1,1) \otimes
\lz(0,2 \pi)$  (vgl. \cite{pr} Satz II 6.11). Es kann somit jedes
Element aus $\hr_2$ -- also insbesondere jedes Element aus $\hr_1$ -- in
der folgenden Form geschrieben werden:
\be
f(\xi,\eta,\varphi) = \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=-n}^{n} f_{n,m}(\xi) \,
Y\!S^m_n(\gamma,\eta,\varphi) \qquad \gamma^2 \in \R
\ee
mit geeigneten Funktionen $f_{n,m}(\xi) \in \lz((1,\infty);\xi^2-1)$.\\
Anmerkung: Bei der Verwendung der Notation des Buches \cite{mf} w\"are als
Gewichtsfunktion $\xi^2$ anstelle von $\xi^2-1$ aufgetreten, und es w\"urde der
oben angegebene Zusammenhang nicht mehr gelten (betrachte $f= 1/(\xi^2-\eta^2)$)!
Es ist also nicht mehr gew\"ahrleistet, da\ss{} $\hr_2$ gen\"ugend Funktionen
enth\"alt.

\section{Einf\"uhrung der $\delta$--Wechselwirkung}

Es soll nun eine $\delta$--Wechselwirkung mit Hilfe von selbstadjungierten
Fortsetzungen eingef\"uhrt werden. Dazu sei zun\"achst der Operator des
Radialteils (genauer gesagt dessen Liouvillesche Normalform) noch einmal
angegeben:
\be \ba{rcl}
\ot: \dbt &\rightarrow & \lz(0,\infty) \\ f & \mapsto & \ot f = \tau f\\  
\ea \ee
\be
\ba{ll}
\dbt = \{ f \in \lz(0,\infty) | & \! f \in \acel(0,\infty)
,\; \tau f \in \lz(0,\infty) ; \\ & \! \lim_{y\to 0} (f-2 y f')/ \sqrt{y}=0
\mb{ f\"ur } m=0; \\ & \! \lim_{y\to 0} f(y)=0 \mb{ f\"ur } m=1\}
\ea
\ee
\be
\tau= -\frac{d^2}{dy^2} + \frac{\lam}{y(y+2a)} + a^2 \frac{m^2-1}{y^2(y+2a)^2}
\ee
Wir wollen nun die selbstadjungierten Fortsetzungen des Operators
\be
\ba{rcl}
\hat{\ot}: \db(\hat{\ot}) &\rightarrow & \lz(0,\infty) \\ f & \mapsto &
\ot f = \tau f\\   \ea\\ \ee
mit Definitionsbereich
\be
\db(\hat{\ot})= \{ f \in \dbt | f(d)=0 \} \qquad \mb{ mit } d>0
\ee
aufsuchen. Dazu m\"ussen wir zuerst den adjungierten Operator berechnen.
 Es m\"ussen also alle $f$ gefunden werden, f\"ur die ein $h \in \lz(0,\infty)$
existiert, so da\ss{}:
\be
\label{adjh}
\int\limits_0^\infty \ol{f} \tau g \, dy = \int\limits_0^\infty
\ol{h} g \, dy \qquad \forall g \in \db(\hat{\ot})
\ee
Beschr\"anken wir uns zun\"achst auf Funktionen $g \in \db(\hat{\ot})$ mit $g(y)=0$
f\"ur $y \le d$, so folgt, da\ss{} die Einschr\"ankung von $f$ auf $(d,\infty)$ im
Definitionsbereich des zu
\be
\ba{rcl}
\ot_+ : \db(\ot_+) &\rightarrow & \lz(d,\infty) \\ f & \mapsto &
\ot_+ f = \tau  f \ea
\ee
\be
\db(\ot_+) = \{ f \in \lz(d,\infty) | f \in
\acel(d,\infty) ; \tau f \in \lz(d,\infty) ;  f(d)=f'(d)=0 \}
\ee
adjungierten Operators liegt. Dieser ist wegen \cite{wd} Satz 8.22, Hilfssatz 8.28 (vgl.
auch Satz 8.25) und Satz 5.3 c durch
\be
\ot_+^* f = \tau  f
\ee
\be
\db(\ot_+^*) = \{ f \in \lz(d,\infty) | f \in
\acel(d,\infty) ; \tau f \in \lz(d,\infty) \}
\ee
gegeben. Eine \"ahnliche Rechnung mit $g(y)=0$ f\"ur $y \ge d$ liefert dann insgesamt:
\be
\ba{ll}
\db(\hat{\ot}^*) \subset \{ f \in \lz(0,\infty) | \!\! & f \in
\acel((0,\infty) \backslash \{ d \}); \; \hat{\tau} f \in \lz(0,\infty) ; \\  &
\lim_{y\to 0} (f-2 y f')/ \sqrt{y} = 0 \mb{ f\"ur } m=0; \\ & \lim_{y\to 0}
f(y)=0 \mb{ f\"ur } m=1\} \ea
\ee
mit $(\hat{\tau} f)(y) = (\tau f)(y)$ f\"ur $y \ne d$\\[2mm]
Sei nun $f \in \db(\hat{\ot}^*)$:
\bea
\nn \int\limits_0^\infty \ol{f} \tau g \, dy &=& W(\ol{f},g)_{d+} + \int\limits_0^d \ol{\tau
f} g \, dy - W(\ol{f},g)_{d-} + \int\limits_d^\infty \ol{\tau f} g \, dy\\
&=& g'(d)\ol{(f(d+)-f(d-))} + \int\limits_0^\infty \ol{\hat{\tau} f} g \, dy \qquad \forall g
\in \db(\hat{\ot})
\eea
Einsetzen in Gleichung (\ref{adjh}) liefert:
\be
\int\limits_0^\infty (\ol{\hat{\tau} f - h}) g \, dy = g'(d)\ol{(f(d+)-f(d-))}
\ee
Da dies insbesondere f\"ur Funktionen $g \in \db(\hat{\ot})$ mit $g'(d)=0$ gelten 
mu\ss{} (und diese dicht liegen), folgt $h = \hat{\tau} f$.  Und das wiederum ergibt:
\be
f(d+)=f(d-) \equiv f(d)
\ee
Der adjungierte Operator $\hat{\ot}^*$ zu $\hat{\ot}$ ist also durch
\be
\ba{ll}
\db(\hat{\ot}^*) = \{ f \in \lz(0,\infty) | \!\! & f \in
\mb{AC}_{loc}(0,\infty) ; \\ & f' \in \mb{AC}_{loc}((0,\infty) \backslash \{ d
\}); \; \hat{\tau} f \in \lz(0,\infty) ; \\  &
\lim_{y\to 0} (f-2 y f')/ \sqrt{y} = 0 \mb{ f\"ur } m=0; \\ & \lim_{y\to 0}
f(y)=0 \mb{ f\"ur } m=1\} \ea
\ee
\be
\hat{\ot}^* f  = \hat{\tau} f
\ee
gegeben. Wir ben\"otigen noch den Abschlu\ss{} von $\hat{\ot}$ und berechnen daher
$\hat{\ot}^{**}$ (\cite{wd} Satz 5.3b). Es gilt $\db(\hat{\ot}^{**}) \subset \dbt$ ($\ot
\subset \hat{\ot}^* \Rightarrow \hat{\ot}^{**} \subset \ot^* = \ot$). Es m\"ussen also
alle $f \in \dbt$ gefunden werden, f\"ur die ein $h \in \lz(0,\infty)$ existiert, so 
da\ss{}:
\be
\int\limits_0^\infty \ol{f} \hat{\tau} g \, dy = \int\limits_0^\infty
\ol{h} g \, dy \qquad \forall g \in \db(\hat{\ot}^{*})
\ee
Es gilt nun
\bea
\nn \int\limits_0^\infty \ol{f} \hat{\tau} g \, dy &=& \int\limits_0^d \ol{f}
(-g'' +q g) dy +\int\limits_d^\infty \ol{f} (-g'' + q g) dy \\
&=& \ol{f}(d)(g'(d-)-g'(d+)) + \int\limits_0^\infty \ol{\hat{\tau} f} g \, dy
\eea
insgesamt folgt also:
\be
\int\limits_0^\infty (\ol{\hat{\tau} f - h}) g \, dy = \ol{f}(d)(g'(d+)-g'(d-))
\ee
W\"ahlt man $g \in \dbt$, so folgt analog wie zuvor $h = \hat{\tau} f$ und $f(d)=0$. Also
gilt:
\be
\hat{\ot}^{**}= \hat{\ot}
\ee
Um die Defektindizes zu erhalten, mu\ss{} die Gleichung
\be
\tau \rk = k^2 \rk  \qquad \mb{ mit } \rk \in
\db(\hat{\ot}^*) \mb{ und } \im(k^2) \ne 0
\ee
untersucht werden, also alle Funktionen $\rk \in \nul(\hat{\ot}^*-k^2)$ gefunden
werden. Die L\"osungen lauten:
\be
\rk(y,d)= \frac{\I}{k} \left\{ \ba{l@{\qquad}r} he^m_\lam(k,d)
je^m_\lam(k,y) &  y \le d\\ je^m_\lam(k,d) he^m_\lam(k,y) &  d \le y \ea \right.
\ee
Dabei wurde $k=\sqrt{k^2}$ \"uber $\arg(k) \in [0,\pi)$ festgelegt, und $\rk(y,d)$ so
normiert, da\ss{} der Sprung in der Ableitung genau $-1$ betr\"agt (Beachte Gl.
(\ref{wrd2})). Ein Vergleich mit (\ref{resk}) rechtfertigt die Bezeichnung. Die
Defektindizes lauten (1,1), sind also gleich. Eine selbstadjungierte Fortsetzung ist
m\"oglich.\\
Aus \cite{wd} Satz 8.12 folgt, da\ss{} alle selbstadjungierten Erweiterungen
$\ot_\theta$ von $\hat{\ot}$ durch die Angabe eines unit\"aren Operators
\be
{\rm U}_\theta : \quad \spa{{\rm R_+}} \rightarrow  \spa{ {\rm R_-} }
\ee
mit ${\rm R}_\pm(y) = {\rm R_{\sqrt{\pm \I}}}(y,d)$\\
charakterisiert werden k\"onnen. Wegen $\| {\rm R_+} \| = \| {\rm R_-} \|$ (Beachte
${\rm R_+}(y) = \ol{ {\rm R_-}(y)}$) sind alle unit\"aren Operatoren durch
\be
\ba{rcl}
{\rm U}_\theta : \spa{{\rm R_+}} &\rightarrow & \spa{ {\rm R_-} }\\ c {\rm R_+} &
\mapsto & {\rm U}_\theta (c {\rm R_+}) = {\rm e}^{\I \theta} c {\rm R_-} \ea
\ee
mit $c \in \C$ und $\theta \in (-\pi ,\pi]$\\
gegeben. Einsetzen in Satz 8.12 liefert dann endg\"ultig:
\be
\ot_\theta (f + c {\rm R_+} + c \, {\rm e}^{\I \theta}{\rm R_-}) =
\tau f + \I c {\rm R_+} - \I c \, {\rm e}^{\I \theta}{\rm R_-}
\ee
\be
\db(\ot_\theta) = \{ f + c {\rm R_+} + c \, {\rm e}^{\I \theta} {\rm R_-} \, |f \in
\db(\hat{\ot}), c \in \C \}
\ee
Wir k\"onnen sie auch mit Hilfe von Randbedingungen beschreiben:
\bea
\nn (f + c {\rm R_+} + c \, {\rm e}^{\I \theta} {\rm R_-})'(d+) - (f + c {\rm R_+} + c \,
{\rm e}^{\I \theta} {\rm R_-})'(d-)  = -c(1 + {\rm e}^{\I \theta}) &&\\ \nn = - \frac{1
+{\rm e}^{\I \theta}}{{\rm R_+}(d) + {\rm e}^{\I \theta}{\rm R_-}(d) } (c {\rm R_+} + c
\, {\rm e}^{\I \theta} {\rm R_-})(d) &&\\ \label{randalph} =  \alpha (\theta) (f + c {\rm
R_+} + c \, {\rm e}^{\I \theta} {\rm R_-})(d) && \eea mit 
\be
\alpha (\theta) = \D \frac{ -|{\rm R_+}(d)|^{-1} \cos \D \frac{\theta}{2}}{\cos
\Big( \D \frac{\theta}{2} - \arg({\rm R_+}(d))\Big)} = \frac{-1}{\re({\rm R_+}(d)) +
\im({\rm R_+}(d)) \tan \D \frac{\theta}{2} }
\ee
Dabei wurde im ersten Schritt Gleichung (\ref{wrd2}) und im letzten $f(d)=0$
verwendet. F\"ur die Umformung von $\alpha$ wurde ${\rm R_+}(y) = \ol{\rm R_-}(y)
\ne 0$ und einige elementare trigonometrische Formeln verwendet.
Ist ${\rm R}_+(d) \not\in \R$, so durchl\"auft $\alpha$ ganz $\R$, wenn
$\theta$ Werte zwischen $-\pi$ und $\pi$ durchl\"auft. ${\rm R}_+(d) \in \R$ w\"urde
aber bedeuten, da\ss{} der Operator $\ot_\alpha$ aus Satz \ref{saalpha} mit
$\alpha=1/{\rm R}_+(d)$ (der auf jeden Fall symmetrisch ist) eine Eigenfunktion
(${\rm R}_\pm(y)$) zu einem komplexen Eigenwert ($k^2=\pm \I$) h\"atte ---
Widerspruch (Man setze ${\rm R}_\pm (y)$ in (\ref{randalph}) ein.). Alle
selbstadjungierten Erweiterungen $\ot_\theta$ k\"onnen also auch mit $\alpha \in \R
\cup \{ \infty\}$ parametrisiert werden ($\alpha(\theta)$ ist offensichtlich eine
Bijektion von $(-\pi,\pi]$ auf $\R \cup \{ \infty\}$), und wir haben folgenden \bs
\label{saalpha}
Der Operator $\ot_\alpha$ ist auf
$\db(\ot_\alpha)$ selbstadjungiert.
\es
\be
\ot_\alpha f = \hat{\tau} f
\ee
\be
\ba{ll}
\db(\ot_\alpha) = \{ f \in \lz(0,\infty) | & f \in
\mb{AC}_{loc}(0,\infty) \; ; f' \in \mb{AC}_{loc}((0,\infty) \backslash \{ d
\}); \\ & \hat{\tau} f \in \lz(0,\infty) ;
f'(d_+)-f'(d_-)=\alpha f(d)\\  &\lim_{y\to 0} (f-2 y f') / \sqrt{y} = 0 \mb{ f\"ur } m=0;
\\ & \lim_{y\to 0} f(y)=0 \mb{ f\"ur } m=1\} \ea
\ee
Der Fall $\alpha=0$ entspricht dem urspr\"unglichen Operator des Radialteils:
T$_0$=T. Der Fall $\alpha \ne 0$ entspricht einer Wechselwirkung, die formal
beschrieben wird, indem man in Gleichung (\ref{pot1}) $W_1= \alpha \, \delta(\cosh
\rho - d/a-1)$ und $W_2=W_3=0$ setzt.\footnote{$\delta(x)$\dots
Deltadistribution} Der Fall $\alpha=\infty$ zerlegt $(0,\infty)$ in die beiden
Teilintervalle $(0,d)$ und $(d,\infty)$:
\be
\ba{ll}
\db(\ot_\infty) = \{ f \in \lz(0,\infty) | & f \in
\mb{AC}_{loc}(0,\infty) \; ; f' \in \mb{AC}_{loc}((0,\infty) \backslash \{ d
\}); \\ & \hat{\tau} f \in \lz(0,\infty) ;
f(d)=0\\  &\lim_{y\to 0} (f-2 y f') / \sqrt{y} = 0 \mb{ f\"ur } m=0;
\\ & \lim_{y\to 0} f(y)=0 \mb{ f\"ur } m=1\} \ea
\ee
Wir wollen nun  noch etwas \"uber die Eigenwerte von $\ot_\alpha$
sagen. $\rk(y,d)$ ist genau dann Eigenfunktion von $\ot_\alpha$, wenn die
Randbedingung bei $d$ (\ref{randalph}) erf\"ullt ist. Was auf folgende Gleichung f\"uhrt:
\be
1+\alpha \rk(d,d) = 0
\ee
Um die Eigenwerte unseres Operators im $\R^3$ zu erhalten, mu\ss{} also die Gleichung
\be
1 + \frac{\I \alpha}{k} je^m_n(k,d) he^m_n(k,d) = 0
\ee
gel\"ost werden.
\bs
Die Resolvente $\rk^\alpha$ ist ein Integraloperator mit folgendem Kern:
\es
\be
\label{resrka}
\rk^\alpha(y,y') = \rk(y,y') -\frac{\alpha}{1+\alpha \rk(d,d)} \rk(y,d)
\rk(d,y') \qquad k^2 \in \rho(\ot_\alpha) \cap \rho(\ot)
\ee
\bb
Der Operator $\rk^\alpha$ ist offensichtlich auf ganz $\lz(0,\infty)$ definiert und
beschr\"ankt (da $\rk$ diese Eigenschaften besitzt und der zweite Summand
endlichdimensional ist). Wir zeigen zuerst, da\ss{} f\"ur $g \in \lz(0,\infty)$
$h_\alpha=\rk^\alpha g$ die Randbedingung erf\"ullt.
\beas
h_\alpha(y) &=& (\rk^\alpha g)(y) \\
&=& \int \limits_0^\infty \left( \rk(y,y') - \frac{\alpha}{1+\alpha \rk(d,d)}
\rk(y,d) \rk(d,y')\right) g(y') \, dy'
\eeas
Wir notieren
\bd
h_\alpha(d) = \frac{1}{1+\alpha \rk(d,d)} \int\limits_0^\infty \rk(d,y') g(y') \, dy'
\ed
und erhalten damit:
\beas
h'_\alpha(d_+)-h'_\alpha(d_-) & = & - \frac{\alpha}{1+\alpha \rk(d,d)} \int 
\limits_0^\infty \rk(d,y') g(y') \, dy' \times \\ && \Big( \rk(d_+,d)' -
\rk(d_-,d)' \Big) = \alpha h_\alpha(d)
\eeas
Dabei wurde $\rk(d_+,d)' - \rk(d_-,d)' = \I (je^m_\lambda(k,d)  he^m_\lambda(k,d)' -
je^m_\lambda(k,d)'  he^m_\lambda(k,d)) / k = 1$ verwendet (vgl. Gl. (\ref{wrd2})).
Damit ist offensichtlich $h_\alpha \in \db(\ot_\alpha)$. Nun berechnen wir
$(\hat{\tau} - k^2) h_\alpha$:
\beas
\Big( (\hat{\tau} - k^2) h_\alpha \Big) (y) &=& \Big( (\tau - k^2)R_k g \Big)
(y) - \frac{\alpha}{1+\alpha \rk(d,d)} \times \\ && \int \limits_0^\infty
 \rk(d,y') g(y') \, dy' \: (\hat{\tau} - k^2) \rk(y,d) =g(y)
\eeas
(Beachte: $ (\hat{\tau} - k^2) \rk(y,d)=0$) Aus diesen beiden Eigenschaften folgt, da
$\ot_\alpha -k^2$ eine Bijektion von $\db(\ot_\alpha)$ auf $\lz(0,\infty)$ ist,
da\ss{} $\ran(\rk^\alpha)=\db(\ot_\alpha)$ gilt. Alle $h_\alpha \in \db(\ot_\alpha)$
lassen sich also in der Form
\bd
h_\alpha = \rk^\alpha g \qquad g \in \lz(0,\infty)
\ed
schreiben. Daraus folgt:
\bd
\rk^\alpha (\ot_\alpha - k^2) h_\alpha = \rk^\alpha (\ot_\alpha - k^2)
\rk^\alpha g =\rk^\alpha g = h_\alpha
\ed
Also insgesamt:
\bd
\rk^\alpha = (\ot_\alpha - k^2)^{-1} \quad k^2 \in
\rho(\ot_\alpha) \cap \rho(\ot) \ed
Die Behauptung ist damit bewiesen.
\eb
Aus dem Beweis folgt unmittelbar:
\bk
Jedes $h_\alpha \in \db(\ot_\alpha)$ l\"a\ss{} t sich eindeutig in der Form
\be
h_\alpha = \rk^\alpha g \qquad g \in \lz(0,\infty)
\ee
schreiben. Weiter gilt:
\be
(\hat{\tau} -k^2)h_\alpha = g
\ee
\ek
F\"ur $\rk^\infty$ gilt:
\bea
\nn h_\infty(y) &=& (\rk^\infty g)(y) 
= \int \limits_0^\infty \left( \rk(y,y') - \frac{\rk(y,d) \rk(d,y')}{\rk(d,d)}
\right) g(y') \, dy' \\\label{restinf} &=& \left\{ \ba{l}
\left( he^m_\lam(k,y) - \frac{he^m_\lam(k,d)}{je^m_\lam(k,d)} je^m_\lam(k,y) \right)
\int\limits_0^y je^m_\lam(k,y') g(y') \, dy' +\\
je^m_\lam(k,y) \int\limits_y^d \left( he^m_\lam(k,y') -
\frac{he^m_\lam(k,d)}{je^m_\lam(k,d)} je^m_\lam(k,y') \right)  g(y') \, dy' \qquad y \le
d\\ \\
he^m_\lam(k,y) \int\limits_d^y \left( je^m_\lam(k,y') -
\frac{je^m_\lam(k,d)}{he^m_\lam(k,d)} he^m_\lam(k,y') \right)  g(y') \, dy'+\\
\left( je^m_\lam(k,y) - \frac{je^m_\lam(k,d)}{he^m_\lam(k,d)} he^m_\lam(k,y) \right)
\int\limits_y^\infty he^m_\lam(k,y') g(y') \, dy'\qquad y \ge d
\ea\right. \eea
Daraus ersieht man deutlich die Entkopplung der beiden Teilintervalle.
\bs
F\"ur das wesentliche Spektrum von $\ot_\alpha$ gilt:
\be
\sigma_{ess}(\ot_\alpha) = \sigma_{ess}(\ot)=[0,\infty)
\ee
\be
\sigma_{ac}(\ot)=[0,\infty) \qquad \sigma_{sc}(\ot)=\emptyset
\ee
Das Punktspektrum ist einfach und es gilt:
\be
\sigma_p(\ot) \subset (-\infty,0]
\ee
\es
\bb
Der erste Teil folgt mit dem Satz von Weyl (\cite{rs} Satz XIII.14) aus Satz \ref{spekj}
und der Tatsache, da\ss{} die Resolventen sich nur um einen endlichdimensionalen (also
kompakten) Anteil unterscheiden. Sei nun $\vphi \in  \mb{C}^\infty_0(0,\infty)$, $p>1$
beliebig und $0<a<b<\infty$, dann gilt:
\bd
\sup_{0<\eps<1} \int\limits_a^b |\im \spr{\vphi}{{\rm R}_{\sqrt{x+\I \eps}}
(\ot_\alpha) \vphi}|^p dx < \infty \ed
Denn da $\vphi$ au\ss{} erhalb eines kompakten Intervalls $[c,d] \subset (0,\infty)$
verschwindet, kann $\rk(y,y')$ (auf jedem kompakten Teilintervall stetig!) durch
eine geeignete (von $k$ abh\"angige) Konstante majorisiert werden. ($\rk(y,y')$ ist
dabei f\"ur alle $k$ mit $\re(k^2) \ge 0$ \"uber Gleichung (\ref{resk}) definiert.)
Insbesondere kann also auch eine Konstante, die das f\"ur alle $k^2=x + \I \eps$ mit
$(x,\eps) \in [a,b] \times [0,1]$ bewerkstelligt gefunden werden. Der zweite Teil folgt
damit aus \cite{rs} Satz XIII.20, wenn man $D= \mb{C}^\infty_0(0,\infty)$ w\"ahlt. Da
$a,b$ beliebig sind folgt zun\"achst, da\ss{} das Spektrum in $(0,\infty)$ rein absolut
stetig ist und daraus dann der Rest der Behauptung.
\eb
\bs
Sei $V$ reellwertig mit ${\rm Min}(1,\sqrt{y}) V(y) \in \lz(0,\infty)$, dann ist
${\rm V}$ relativkompakt bez\"uglich $\ot_\alpha$. Der Operator
\be
\ot_\alpha +{\rm V}
\ee
ist auf $\dbt$ selbstadjungiert und f\"ur das wesentliche Spektrum gilt:
\be
\sigma_{ess}(\ot_\alpha+{\rm V}) = \sigma_{ess}(\ot)=[0,\infty)
\ee
Das Punktspektrum ist einfach.
\be
\sigma_p(\ot_\alpha+{\rm V}) \subset (-\infty,0]
\ee
\es
\bb
Vergleiche Satz \ref{relkomp} und Gleichung \ref{resrka}.
\eb


\section{$\delta$--Wechselwirkung als Grenzwert}


Ziel dieses Abschnitts ist es, die $\delta$--Wechselwirkung als (Normresolventen--)
Grenzwert von skalierten Potentialen zu erhalten. Wir f\"uhren zun\"achst f\"ur
$\eps>0$ einen Skalierungs-- und Verschiebungsoperator $\se$ ein (vgl. \cite{ag}):
\be
\ba{rcl} \se : \; \lz(0,\infty) &\to& \lz(0,\infty) \\ f(y) &\mapsto& \left\{
\ba{cl} \frac{1}{\sqrt{\eps}} f(\frac{y-d}{\eps}) & y > d \\ 0 & y \le d \ea \right. \ea
\ee
Es ist leicht zu sehen, da\ss{} $\se$ isometrisch ist. Der adjungierte Operator
$\see$ ist durch
\be
\ba{rcl} \see  : \; \lz(0,\infty) &\to& \lz(0,\infty) \\ f(y) &\mapsto& \sqrt{\eps}
f(\eps y+d) \ea
\ee
gegeben. Wir w\"ahlen zun\"achst eine reellwertige Funktion $V \in \lei (0,\infty)
\cap \lz (0,\infty)$ und definieren:
\be
u(y)= {\rm sgn}(V(y)) \sqrt{|V(y)|} \qquad v(y)= \sqrt{|V(y)|}
\ee
Es gilt: $u,v \in \lz(0,\infty)$ und $V=uv$. Wir berechnen nun den Grenzwert des
Operators \be
\ba{rcl} \ot(\eps) : \; \db(\ot) &\to& \lz(0,\infty) \\ f &\mapsto& \tau f +
V_\eps f \ea \qquad \eps > 0
\ee
mit $ \D V_\eps(y)=  \frac{1}{\sqrt{\eps}} (\se V)(y)= \left\{ \ba{cl} \frac{1}{\eps}
V(\frac{y-d}{\eps}) & y > d \\ 0 & y \le d \ea \right.$\\[2mm]
F\"ur sp\"ater f\"uhren wir noch folgende Abk\"urzung ein:
\be
\alpha = \int_0^\infty V_\eps (y) \, dy =  \int_0^\infty V(y) \, dy
\ee
Aus Satz \ref{relkomp} folgt:
\bl
$\ot(\eps)$ ist auf $\dbt$ selbstadjungiert und es gilt:
\be
\sigma_{ess} (\ot(\eps)) = \sigma_{ess} (\ot) = [0,\infty)
\ee
Es gilt sogar:
\be
\sigma_{ac} (\ot(\eps)) = [0,\infty) \qquad \sigma_{sc} (\ot(\eps)) = \emptyset
\ee
Das Spektrum ist in $\R \backslash \{0\}$ einfach.
\el
Wir berechnen zuerst die Resolvente von $\ot(\eps)$. Dazu gehen wir von der
zweiten Resolventengleichung (\cite{wd} Satz 5.13 c) aus:
\bea
\nn (\ot + {\rm V}_\eps - k^2)^{-1} &=& \rk - \rk {\rm V}_\eps (\ot + {\rm V}_\eps -
k^2)^{-1}\\ \nn &=& \rk - \rk {\rm V}_\eps (\ot + {\rm V}_\eps - k^2)^{-1} \rk^{-1}
\rk\\ \nn &=& \rk - \rk {\rm V}_\eps [\rk (\ot + {\rm V}_\eps - k^2)]^{-1} \rk\\
&=& \rk - \rk {\rm V}_\eps (1 + \rk {\rm V}_\eps)^{-1} \rk
\eea
Der zweiten Summand soll nun schrittweise vereinfacht werden:
\bea
\nn (\rk {\rm V}_\eps f)(y) &=& \int_0^\infty \rk(y,y') (\se u)(y') (\se v)(y') f(y') \,
dy'\\ \nn &=& \frac{1}{\eps} \int_0^\infty (\see \rk(y,y')) u(y') v(y') (\see f)(y') \,
dy'\\ \nn &=& \frac{1}{\sqrt{\eps}} \int_0^\infty \rk(y,\eps y'+ d) u(y') v(y') (\see
f)(y') \, dy' \\ \nn &=& \frac{1}{\sqrt{\eps}} \int_0^\infty {\rm A}_\eps(y,y') v(y')
(\see f)(y') \, dy'\\ &=& \frac{1}{\sqrt{\eps}} ({\rm A}_\eps v \see f)(y)
\eea
Weiter berechnen wir:
\be
(1 + \rk {\rm V}_\eps)^{-1} g = f
\ee
\bea
\nn g(y) &=&  f(y) + \int_0^\infty \rk(y,y') (\se u)(y') (\se v)(y') f(y') \, dy'\\
&=& f(y) + \int_0^\infty \frac{1}{\sqrt{\eps}} \rk(y,\eps y'+ d) u(y') v(y')
(\see f)(y') \, dy'
\eea
\bea
\nn (v \see g)(y) &=& (v \see f)(y) + \int_0^\infty v(y) \rk(\eps y+d,\eps y'+d) u(y')
v(y') (\see f)(y') \, dy'\\ \nn &=& (v \see f)(y) + \int_0^\infty {\rm B}_\eps(y,y') v(y')
(\see f)(y') \, dy'\\ &=& (1 + {\rm B_\eps} v \see f)(y)
\eea\\[3mm]
\be
v \see f = (1+ {\rm B}_\eps)^{-1} v \see g
\ee
Zuletzt berechnen wir:
\bd
\rk h = g
\ed
\bea
\nn (v \see g)(y) &=& \sqrt{\eps} \int_0^\infty v(y) \rk(\eps y+d,y') h(y') \, dy'\\
&=& \nn \sqrt{\eps} \int_0^\infty {\rm C}_\eps(y,y') h(y') \, dy'\\
&=& \sqrt{\eps} ({\rm C}_\eps h)(y)
\eea
Und damit insgesamt:
\be
(\ot(\eps)-k^2)^{-1} = \rk + {\rm A}_\eps (1 + {\rm B}_\eps)^{-1} {\rm C}_\eps
\ee
\bl
Es gilt:
\bea
&& {\rm A}(y,y') = \lim_{\eps \downarrow 0} {\rm A}_\eps(y,y') = \rk(y,d) u(y') \\
&& {\rm B}(y,y') = \lim_{\eps \downarrow 0} {\rm B}_\eps(y,y') = v(y) \rk(d,d) u(y') \\
&& {\rm C}(y,y') = \lim_{\eps \downarrow 0} {\rm C}_\eps(y,y') = v(y) \rk(d,y')
\eea
Die Konvergenz ist im Sinne der Hilbert--Schmidt--Norm gemeint.
\el
\bb
Aus Lemma \ref{lemvv} folgt, da\ss{} $ {\rm A}_\eps, {\rm B}_\eps, {\rm C}_\eps$
Hilbert--Schmidt--Operatoren sind, da $u,v \in \lz(0,\infty)$ gilt. Da\ss{} auch A, B und C
Hilbert--Schmidt--Operatoren sind, ist offensichtlich. Da schwache Konvergenz
\bd
\wlim_{\eps \downarrow 0} {\rm A}_\eps = {\rm A} \quad \wlim_{\eps\downarrow
0}{\rm B}_\eps = {\rm B} \quad \wlim_{\eps \downarrow 0} {\rm C}_\eps = {\rm C}
\ed
aus dem Satz \"uber die majorisierte Konvergenz (\cite{he}) folgt (geeignete
Majoranten lassen sich leicht mit den Absch\"atzungen aus Lemma \ref{lemvv}
konstruieren), gen\"ugt es (\cite{si} Satz 2.21)
\bd
\lim_{\eps \downarrow 0} \|{\rm A}_\eps\|_{HS} = \|{\rm A}\|_{HS} \quad
\lim_{\eps \downarrow 0} \|{\rm B}_\eps\|_{HS} = \|{\rm B}\|_{HS} \quad \lim_{\eps
\downarrow 0} \|{\rm C}_\eps \|_{HS} = \|{\rm C}\|_{HS}
\ed
zu zeigen. Das folgt aber wieder aus dem Satz \"uber die majorisierte Konvergenz.
\eb
Wir k\"onnen nach dieser Vorarbeit nun den zentralen Satz dieses Abschnitts beweisen:
\bs
Sei $V \in \lei (0,\infty) \cap \lz (0,\infty)$, reellwertig und $d>0$. Dann strebt
$\ot(\eps)$ gegen $\ot_\alpha$ im Normresolventen--Sinn:
\be
\nlim_{\eps \downarrow 0} (\ot(\eps)-k^2)^{-1} = \rk^\alpha \qquad k^2 \in \C
\backslash \R
\ee
mit
\be
\alpha = \int_0^\infty V(y) \, dy
\ee
\es
\bb
Wir wissen bereits:
\bd
\nlim_{\eps \downarrow 0} (\ot(\eps)-k^2)^{-1} = \rk - {\rm A} (1+{\rm B})^{-1} {\rm
C}
\ed
und m\"ussen nur noch $(1+{\rm B})^{-1}$ berechnen:
\bd
(1+{\rm B})^{-1} f = g \qquad f,g \in \lz(0,\infty)
\ed
\beas
f &=& g + {\rm B} g = g + \rk(d,d) v \spr{u}{g}\\
&=& g + \rk(d,d) v \spr{u}{f} - \rk(d,d)^2 v \spr{u}{v} \spr{u}{g}\\
&=& g + \rk(d,d) v \spr{u}{f} - \rk(d,d) \spr{u}{v} (f-g)\\
\eeas
Aufl\"osen nach $g$ ergibt:
\bd
g = f - \frac{\rk(d,d) v \spr{u}{f}}{1 +\rk(d,d) \spr{u}{v}}
\ed
Damit folgt schlie\ss{} lich:
\bd
({\rm A} (1+{\rm B})^{-1} {\rm C} )(y,y') = \frac{\alpha}{1+\alpha \rk(d,d)} \rk(y,d)
\rk(d,y')
\ed
Ein Vergleich mit (\ref{resrka}) beendet den Beweis.
\eb
Der Satz besagt anschaulich, da\ss{} die auf einem Rotationsellipsoid konzentrierte
Wechselwirkung eine N\"aherung f\"ur ein hohes, nur in einer kleinen Umgebung des
Rotationsellipsoides wesentlich von Null verschiedenen Potentials ist. Das Ergebnis
ist nicht verwunderlich,  denn es gilt:
\be
\lim_{\eps \downarrow 0} \int_0^\infty V_\eps(y) \phi(y) dy = 
\lim_{\eps \downarrow 0} \int_0^\infty V(y) \phi(\eps y + d) dy
= \int_0^\infty V(y) \phi(d) dy = \alpha \phi(d)
\ee
f\"ur alle auf $(0,\infty)$ stetigen und beschr\"ankten  $\phi$. (Im zweiten Schritt
wurde die Beschr\"anktheit von $\phi$ und der Satz \"uber die majorisierte Konvergenz
verwendet.). Es gilt also \be
\lim_{\eps \downarrow 0} V_\eps(y) \stackrel{D}{=} \alpha \delta(y-d)
\ee
im Distributionen--Sinn. Vergleiche \cite{st} f\"ur eine einfache
Einf\"uhrung in die Distributionentheorie und \cite{st} \"Ubungsaufgabe 2.4, wo ein
schw\"acheres Ergebnis bewiesen wird.
%
% Kapitel 3
%

\chapter{$\rm H_2^+$--Ion in sph\"aroidalen Koordinaten}


\section{Einf\"uhrung der Wechselwirkung}

Im Anschlu\ss{} an Abschnitt 1 Gleichung (\ref{pot}) wollen wir nun ein
quantenmechanisches Teilchen, das sich im Potential zweier Punktladungen
befindet untersuchen. Das Modell wird durch die Schr\"odingergleichung
(\ref{sg}) mit folgendem Potential beschrieben: \be
V = \frac{C_1}{r_1} + \frac{C_2}{r_2}
\ee
$C_{1,2}$ sind ein Ma\ss{} f\"ur die St\"arke der Ladung und $r_{1,2}$
bezeichnet den Abstand des Teilchens von der Ladung. Die Lage der
Punktladungen ist dabei als fest angenommen. Ihre Wechselwirkungsenergie
ist deshalb konstant und wird auf 0 normiert. W\"ahlt man $C_1=C_2$, so
erh\"alt man ein Modell f\"ur das $\rm H_2^+$--Ion (vgl. \cite{sw}). W\"ahlen
wir unser (sph\"aroidales) Koordinatensystem so, da\ss{} die Punktladungen in
den Brennpunkten liegen, so ist das Potential wegen (\ref{pot1}) und
(\ref{pot}) durch
\be
V = \frac{a^2 \left( W_1(\frac{r_1+r_2}{2a}) + W_2(\frac{r_1-r_2}{2a})
\right)}{r_1 r_2}
\ee
mit
\be
W_1(\xi)= \frac{C_2+C_1}{a} \xi \qquad  W_2(\eta)= \frac{C_2-C_1}{a} \eta
\ee
gegeben. Einsetzen des Produktansatzes (\ref{psi}) in die
Schr\"odingergleichung (\ref{sg}) liefert die neuen Separationsgleichungen:
\bea
\frac{d}{d\xi}(\xi^2-1)\frac{d}{d\xi} J - [\lambda - \gamma^2 (\xi^2-1)
+ \frac{m^2}{\xi^2-1} + a^2 W_1(\xi) ] J &=& 0\\
\frac{d}{d\eta}(1-\eta^2)\frac{d}{d\eta} S + [\lambda + \gamma^2 (1-\eta^2)
- \frac{m^2}{1-\eta^2}- a^2 W_2(\eta) ] S &=& 0\\ \frac{d^2}{d\varphi^2}
\Theta + m^2 \Theta &=& 0
\eea
Der $\Theta(\varphi)$--Anteil bleibt also unver\"andert. Der $S(\eta)$ bleibt
ebenfalls unver\"andert, falls $C_1=C_2$ ist. Umschreiben zeigt, da\ss{} noch
immer drei (verkoppelte) Sturm--Liouville--Probleme vorliegen:
\bea
\frac{1}{a^2(\xi^2-1)} \left[
-\frac{d}{d\xi}(\xi^2-1)\frac{d}{d\xi} + \lam + \frac{m^2}{\xi^2-1} + a^2
W_1(\xi) \right] J &=& k^2 J \hspace{5mm} \xi \in (1,\infty) \quad\\
\left[ -\frac{d}{d\eta}(1-\eta^2)\frac{d}{d\eta}  - \gamma^2
(1-\eta^2) + \frac{m^2}{1-\eta^2} - a^2 W_2(\eta) \right] S &=& \lam S
\hspace{6.5mm} \eta \in (-1,1) \quad \\ -\frac{d^2}{d\varphi^2}
\Theta &=& m^2 \Theta \hspace{4mm} \vphi \in (0,2 \pi) \quad
\eea
Wir wollen nun die beiden ersten Gleichungen etwas genauer untersuchen.

\section{Untersuchung des $S(\eta)$--Anteils}

Der zu untersuchende Operator lautet:
\be
\ba{rcl}
\ot: \dbt &\rightarrow &
\lz (-1,1) \\ u & \mapsto & \ot u = \tau u\\  
\ea\\ \ee
\be
\tau u = -((1-x^2)u' \,)'-\gamma^2 (1-x^2) \, u + \frac{m^2}{1-x^2} u  + \hat{C}_2 x \, u
\qquad \gamma^2=(a k)^2 \in \R , m^2 \in \N_0 \ee
mit $\hat{C}_2=a (C_1 - C_2) \in \R$ und
\be
\ba{ll}
\dbt= \{ u \in \lz (-1,1) | & u \in \acel (-1,1) ,\;
\tau u \in \lz (-1,1) , \\  & \lim_{x \to \pm 1} (1 \mp x) u'(x)=0
\mb{ f\"ur } m=0 \}
\ea
\ee
\bs
Der Operator $\ot$ ist auf $\dbt$ selbstadjungiert. Sein Spektrum ist rein diskret und
einfach:
\be
\sigma(\ot)=\sigma_{disc}(\ot)
\ee
Die zugeh\"origen Eigenfunktionen  bilden daher ein vollst\"andiges
Orthogonalsystem.
\es
\bb
Die Behauptungen folgen aus den S\"atzen in Abschnitt 1.3, wenn man beachtet,
da\ss{} $\hat{C}_2 x$ eine beschr\"ankte (also relativkompakte) St\"orung 
darstellt.
\eb
Die charakteristischen Exponenten bleiben ebenfalls unver\"andert.

\section{Untersuchung des $J(\xi)$--Anteils}

Wir geben gleich die Liouvillesche Normalform an:

\be \ba{rcl}
\ot: \dbt &\rightarrow & \lz(0,\infty) \\ f & \mapsto & \ot f = \tau f\\  
\ea \ee
\be
\ba{ll}
\dbt = \{ f \in \lz(0,\infty) | & \! f \in \acel(0,\infty)
,\; \tau f \in \lz(0,\infty) ; \\ & \! \lim_{y\to 0} (f-2 y f') / \sqrt{y}
= 0 \mb{ f\"ur } m=0; \\ & \! \lim_{y\to 0} f(y)=0 \mb{ f\"ur } m=1\}
\ea
\ee
\be
\tau= -\frac{d^2}{dy^2} + \frac{\lam+\hat{C}_1 (y+a)}{y(y+2a)} + a^2
\frac{m^2-1}{y^2(y+2a)^2}
\ee
mit $\hat{C}_1=(C_1 + C_2) \in \R$\\
F\"ur $a = 0$ erh\"alt man den Radialteil des Coulombproblems mit einer
Punktladung proportional zu $C_1 + C_2$.
\bs
Der Operator $\ot$ ist auf $\dbt$ selbstadjungiert. F\"ur das wesentliche
Spektrum gilt:
\be
\sigma_{ess}(\ot) = [0,\infty) \qquad \sigma_{ac}(\ot) = [0,\infty) \qquad
\sigma_{sc}(\ot) = \emptyset
\ee
\be
\sigma_p(\ot) \subset (-\infty,0]
\ee
Das Spektrum ist in $\R \backslash \{0\}$ einfach (insgesamt h\"ochstens
zweifach).
\es
\bb
Es k\"onnen die Beweise von Abschnitt 1.3 \"ubernommen werden. $q$ liegt
zwar nicht in $\lei (1,\infty)$ ist in diesem Bereich aber von
beschr\"ankter Variation, und es treffen weiterhin die Voraussetzungen von
\cite{wd1} Satz 5.1 zu.
\eb
Die charakteristischen Exponenten bleiben ebenfalls unver\"andert, jedoch
das Verhalten f\"ur $y \to \infty$ \"andert sich, da $q$ (wie bereits
erw\"ahnt) nicht in $\lei (1,\infty)$ liegt.
%
% Anhang
%

\begin{appendix}

\chapter{Weyl--Titchmarsh--Theorie}

\section{Grundlagen}

Die hier zusammengestellten Eigenschaften von Differentialgleichungen und deren
L\"osungen findet man z.B. in \cite{cl}, \cite{in}, \cite{km}, \cite{wa}. Speziell
Randwertprobleme im Hilbertraum, so wie sei hier dargestellt werden, finden sich in
\cite{cl}, \cite{ds}, \cite{jr}, \cite{ls}, \cite{ne}, \cite{wd}.\\[2mm]
Unser Ziel ist es, das Eigenwertproblem, das mit dem Differentialausdruck
\be
\label {daus}
\tau f(x) = - \frac{d}{dx} p(x) \frac{d}{dx} f(x) + q(x) f(x) \qquad  f \in \aceli
\ee
verkn\"upft ist, im Hilbertraum $\lzi$ zu untersuchen. $I$ sei dabei das offene Intervall
$I=(a,b)\subset \R$. Wir verlangen:
\begin{enumerate}
\item $p \in \acli$, $p' \in  \lz_{loc}(I)$, $p^{-1} \in \mb{L}^\infty_{loc}(I)$, reellwertig
\item $q \in \lz_{loc}(I)$, reellwertig
\end{enumerate}
Ist $a$ endlich und kann der Index "`{\em loc}"' bei Einschr\"ankung auf das Intervall (a,c)
(mit $a< c < b$) fortgelassen werden, so bezeichnet man den Randpunkt als regul\"ar,
ansonsten als singul\"ar. Analoges gilt f\"ur $b$. Sind beide Randpunkte regul\"ar, so
bezeichnen wir den ganzen Differentialausdruck (\ref{daus}) als regul\"ar. Der maximale
Definitionsbereich f\"ur $\tau$ in $\lzi$ ist durch
\be
\db(\tau)= \{ f \in \lzi | f \in \aceli ,\; \tau f \in \lzi \}
\ee
gegeben. Wegen ${\rm C}^\infty_0(I) \subset \db(\tau)$ ist $\db(\tau)$ dicht.\\
Anmerkung: Wenn man $f \in \aceli$ durch $f,pf' \in \acli$ ersetzt, gen\"ugt es $1. \: p^{-1}
\in \lei_{loc}(I)$, reellwertig und $2. \: q \in \lei_{loc}(I)$, reellwertig zu
fordern. Die Dichtheit von  $\db(\tau)$ ist dann aber nicht mehr offensichtlich.\\
Da wir an selbstadjungierten Operatoren $\ot$
\be
\spr{g}{\ot f} = \spr{\ot g}{f} \qquad \forall g,f \in \db(\ot) = \db(\ot^*)
\ee
$\spr{g}{f}= \int_a^b \ol{g(t)} f(t) \, dt$\dots Skalarprodukt\\
interessiert sind, machen wir eine kleine Rechnung.
Durch partielle Integration erh\"alt man ($a<c<d<b$):
\be
\label{liovv}
\int_c^d \ol{g} (\tau f) \, dt = W(\ol{g},f)_d - W(\ol{g},f)_c + \int_c^d (\ol{ \tau g}) f \,dt
\qquad f,g \in \aceli
\ee
$W(f_1,f_2)_x = \Big(p(f_1 f_2' - f_1' f_2)\Big)(x)$\dots modifizierte
Wronskideterminante\\
W\"ahlen wir f\"ur $\ol{g},f$ speziell zwei L\"osungen $u_{1,2}$ von
\be
\label{hom}
\tau \, u = z \, u \qquad u \in \aceli \quad z \in \C
\ee
so sehen wir, da\ss{} ihre modifizierte Wronskideterminante konstant ist:
\be
\label{wdkonst}
W(u_1,u_2)_x = W(u_1,u_2) = const \qquad \tau u_{1,2} = z u_{1,2}
\ee
Sind $u_{1,2}$ linear unabh\"angig, so ist die Konstante ungleich Null.
W\"ahlen wir in (\ref{liovv}) $f,g \in \db(\tau)$, so k\"onnen wir nacheinander die
Grenz\"uberg\"ange $c \to a$ und $d \to b$ durchf\"uhren:
\be
\label{liov} \spr{g}{\tau f} = W(\ol{g},f)_b - W(\ol{g},f)_a + \spr{\tau
g}{f} \qquad \forall f,g \in \db(\tau)
\ee
$W(\ol{g},f)_{a,b}$ ist dabei als Grenzwert aufzufassen, dessen Existenz aus der Existenz
der Skalarprodukte folgt. Wir geben nun noch zwei Ergebnisse aus der Theorie gew\"ohnlicher
Differentialgleichungen an:
\bs
\label{sawp}
Sei $\tau$ ein auf $I$ definierter Differentialausdruck und $g \in \lei_{loc}(I)$.
Dann existiert eine eindeutige Funktion $f \in \aceli$ mit:
\be
\label{awp}
\tau f - z \, f = g \qquad  z \in \C
\ee
\be
f(c)= \alpha \quad (pf')(c)= \beta \qquad \alpha,\beta \in \C \quad c \in I
\ee
\es
\bb (Skizze) Wir schr\"anken uns zun\"achst auf das (regul\"are) Intervall
$\hat{I}=(\hat{a},\hat{b})$ mit $a<\hat{a}<c<\hat{b}<b$ ein. Die Differentialgleichung
(\ref{daus}) wird zuerst in ein System erster Ordnung verwandelt ($f_1=f, f_2=pf'$):
\bd
{\bf f'}(x) - {\bf A}(x) {\bf f}(x) = {\bf g}(x) \qquad {\bf f}(c) =\left( \ba{c} \alpha \\ \beta
\ea \right) \quad x \in \hat{I}
\ed
mit
\bd
{\bf f} =\left( \ba{c} f_1 \\ f_2 \ea \right) \quad {\bf A} =\left( \ba{cc} 0 & p^{-1} \\ q-z
& 0 \ea \right) \quad {\bf g} =\left( \ba{c} 0 \\ g \ea \right)
\ed
Dieses System wird nun als (Volterra--) Integralgleichung geschrieben:
\bd
{\bf f - {\cal A} f = h}  \qquad ({\cal A} {\bf f})(x) = \int_c^x {\bf A}(t) {\bf f}(t) \, dt
\quad {\bf h}(x) = {\bf f}(c) + \int_c^x {\bf g}(t) \, dt
\ed
Fassen wir $\cal A$ als Integraloperator im Banachraum ${\rm C}(\hat{I}) \times {\rm
C}(\hat{I})$ (Maximumsnorm) auf, so k\"onnen wir sie durch die Neumannsche Reihe
eindeutig l\"osen:
\bd
{\bf f} = \sum_{i=0}^\infty {\cal A}^i \, {\bf h}
\ed
Damit ist eine eindeutige L\"osung $f \in \ac^1(\hat{I})$ gefunden, und da $\hat{I}$ beliebig
war, ist der Satz bewiesen.
\eb
Bemerkung: $f,f'$ k\"onnen stetig auf einen regul\"aren Randpunkt fortgesetzt werden.
\bs
\label{slosinh}
Sind  $u_{1,2}$ zwei L\"osungen von (\ref{hom}) mit $W(u_1,u_2) = 1$, so 
l\"a\ss{} t sich jede L\"osung von (\ref{awp}) in der folgenden Form schreiben
($\alpha,\beta \in \C$):
\be
\label{losinh}
f(x) = u_1(x) \Big(\alpha + \int_c^x u_2(t) g(t) \, dt \Big ) + u_2(x) \Big(\beta - \int_c^x
u_1(t) g(t) \, dt \Big )
\ee
\be
\label{ablinh}
f'(x) = u_1'(x) \Big(\alpha + \int_c^x u_2(t) g(t) \, dt \Big )
+ u_2'(x) \Big(\beta - \int_c^x u_1(t) g(t) \, dt \Big )
\ee
\es
Bemerkung: $\alpha, \beta$ stimmen mit Satz \ref{sawp} \"uberein, falls
$u_1(c)=p(c)u'_2(c)=1$ und  $u'_1(c)=u_2(c)=0$ gilt.\\
\bb
Es ist $\tau f - z \, f=g$ zu zeigen (der Rest folgt dann aus Satz \ref{sawp}). (\ref{losinh}) differenziert
ergibt (\ref{ablinh}). Nun berechnen wir:
\beas
(pf')' &=& (pu_1')' \Big(\alpha + \int u_2 g \, dt \Big ) + (pu_2')' \Big(\beta - \int u_1 g \,
dt \Big ) - p(u_1 u_2' - u_1' u_2)g \\ &=& (q - z) u_1 \Big(\alpha + \int u_2 g \, dt \Big )
+ (q - z) u_2 \Big(\beta - \int u_1 g \, dt \Big ) - g \\ &=& (q - z) f -g
\eeas
Damit ist die Behauptung bewiesen.
\eb


\section{Grenzpunktfall --- Grenzkreisfall}


Wir kommen gleich zur Sache:
\bdf ($\,${\bf Weylsche--Alternative})
\label{weylalt}
Sei $\tau$ ein auf $I=(a,b)$ definierter Differentialausdruck. Wir sagen, bei $a$ liegt der
{\em Grenzkreisfall} (GKF) vor, wenn f\"ur ein $z_0 \in \C$ alle L\"osungen von $\tau u =
z_0 \, u$ in $\lz(a,c)$ (mit $a<c<b$) liegen. Andernfalls sagen wir, es liegt der {\em
Grenzpunktfall} (GPF) vor. Analog f\"ur $b$.
\edf
Der GKF liegt insbesondere dann bei $b$ vor, wenn  $b$ regul\"ar ist. Es liegen dann
n\"amlich f\"ur alle $z \in \C$ alle L\"osungen  von (\ref{hom}) in $\lz(c,b)$. Das gilt sogar
allgemein im GKF:
 \bs
Wenn f\"ur ein $z_0 \in \C$ alle L\"osungen $u$ von (\ref{hom}) in $\lz(c,b)$ liegen, so
gilt das f\"ur alle $z \in \C$. Analog f\"ur $a$.
\es
\bb
$u$ erf\"ulle (\ref{hom}). Wir w\"ahlen zwei linear unabh\"angige L\"osungen $u_1,u_2$ von
$\tau u_{1,2} = z_0 \, u_{1,2}$ mit $W(u_1,u_2)=1$. Dann k\"onnen wir wegen $\tau u - z_0
\, u = (z-z_0) u$ und Gleichung (\ref{losinh}) schreiben $(a<c<x<b)$:
\be
u(x) =\alpha u_1(x) + \beta  u_2(x) + (z-z_0) \int_c^x (u_1(x) u_2(t) - u_1(t) u_2(x) ) u(t)
\, dt
\ee
Wegen $u_{1,2} \in \lz(c,b)$ existiert ein $M \ge 0$ mit
\bd
\int_c^b |u_{1,2}(t)|^2 \, dt \le M
\ed
Wir w\"ahlen $c$ zun\"achst so nahe bei $b$, da\ss{} $|z-z_0| M^2 \le 1/4$ gilt. Als n\"achstes
sch\"atzen wir das Integral mit der Cauchy--Schwarz--Ungleichung ab:
\beas
\Big| \int_c^x (u_1(x) u_2(t) - u_1(t) u_2(x) ) u(t) \, dt \, \Big|^2 \hspace*{4cm}\\
\le  \int_c^x |u_1(x) u_2(t) - u_1(t) u_2(x)|^2 \, dt \int_c^x |u(t)|^2 \, dt
\\ \le M \Big( |u_1(x)|^2 + |u_2(x)|^2 \Big) \int_c^x |u(t)|^2 \, dt  \hspace*{1.5cm}
 \eeas
Damit erhalten wir:
\beas
\int_c^x |u(t)|^2 \, dt & \le  & (|\alpha|^2 + |\beta|^2) M +2 |z-z_0| M^2 \int_c^x |u(t)|^2 \,
dt \\ & \le & (|\alpha|^2 + |\beta|^2) M +\frac{1}{2} \int_c^x |u(t)|^2 \, dt
\eeas
\bd
\int_c^x |u(t)|^2 \, dt \le  2 (|\alpha|^2 + |\beta|^2) M
\ed
Da $u \in \aceli$ folgt $u \in \lz(c,b)$ f\"ur jedes $c \in (a,b)$. 
\eb
Wir interessieren uns nun f\"ur spezielle L\"osungen von (\ref{hom}), die
uns zun\"achst die Existenz einer L\"osung von (\ref{hom}) f\"ur $\im(z)\ne 0$ in $\lz(c,b)$
sichern. Dazu f\"uhren wir folgende Abk\"urzung ein ($a < c < x < b$):
\be
[u]_x= \frac{W(u,\ol{u})_x}{z-\ol{z}} \in \R \qquad u \in \aceli, \: x \in [c,b)
\ee
F\"ur eine L\"osung $u$ von (\ref{hom}) folgt aus (\ref{liovv}) mit $f=g \equiv u$ ($\tau
\ol{u} = \ol{z} \, \ol{u}$):
\be
\label{stmost}
[u]_x = [u]_c + \int_c^x |u(t)|^2 \, dt \qquad \tau u = z \, u
\ee
$[u]_x$ ist daher streng monoton steigend und existiert genau dann, wenn $u \in \lz(c,b)$
gilt.
\bdf
Wir bezeichnen eine L\"osung $u_b \ne 0$ von (\ref{hom}) f\"ur $\im(z)\ne 0$ mit $[u]_b=0$
als {\em Weyl--L\"osung} bei $b$.
\edf
Alle Weyl--L\"osungen lassen sich mit zwei L\"osungen $u_{1,2}$ von (\ref{hom}), die
$[u_1]_c=[u_2]_c=0$ und $W(u_1,u_2)_c=1$ erf\"ullen, bis auf ein komplexes
Vielfaches in der Form
\be
\label{weyllos}
u= w u_1 + u_2  \qquad w \in \C
\ee
schreiben ($[u_1]_x >0$ f\"ur $c<x$ wegen (\ref{stmost})). Wir definieren weiter die
Menge:
\be
K(x)= \{ w \in \C | [w u_1 + u_2]_x \le 0 \} \qquad x \in (c,b)
\ee
Wegen (\ref{stmost}) gilt $K(x) \subset K(\hat{x})$ f\"ur $c<\hat{x}<x<b$. Die gesuchten
Koeffizienten $w$ liegen daher im Durchschnitt dieser Mengen:
\be
K(b) = \bigcap_{x \in (c,b)} K(x)
\ee
Wir berechnen nun:
\be
\label{kreisgl}
[w u_1 + u_2 ]_x = [u_1]_x \Big( |w-m(x)|^2 -r(x)^2 \Big)
\ee
mit
\bd
m(x)= - \frac{W(u_2,\ol{u_1})_x}{W(u_1,\ol{u_1})_x}
\ed
\beas
r(x)^2 &=& \Big( |W(u_2,\ol{u_1})_x|^2 + W(u_2,\ol{u_2})_x W(u_1,\ol{u_1})_x\Big) \Big(
|z-\ol{z}| [u_1]_x \Big)^{-2} \\ &=& \Big( |z-\ol{z}| [u_1]_x \Big)^{-2}
\eeas
$K(x)$ ist also eine kompakte Kreisscheibe (und wegen \cite{ke} Satz 5.1 ist $K(b)$ sicher
nichtleer) mit Mittelpunkt $m(x)$ und Radius $r(x)$. Da $r(x)$ streng monoton fallend und
beschr\"ankt ist, existiert $r(b)=\lim_{x \to b} r(x)$. F\"ur $c<x<\hat{x}<b$ gilt $K(\hat{x})
\subset K(x)$ und daraus folgt wegen $|m(x)-m(\hat{x})| \le r(x)-r(b)$ die Existenz von
$m(b)=\lim_{x \to b} m(x)$. Ist $w \in K(b)$, so folgt aus $|m(x)-w| \le r(x)$
durch Grenz\"ubergang:
\be
K(b) =  \{ w \in \C | \, |w-m(b)| \le r(b) \}
\ee
$K(b)$ ist daher eine kompakte Kreisscheibe (GKF) oder ein Punkt (GPF). Im GKF
erh\"alt man durch Grenz\"ubergang ($[u_1]_b < \infty$):
\be
[w u_1 + u_2 ]_b = 0 \quad \Leftrightarrow  \quad |w-m(b)| = r(b)
\ee
Im GPF erh\"alt man aus (\ref{kreisgl}) f\"ur $w = m(b)$ und $c<x<b$: $-[u_1]_x r(x)^2 \le
[w u_1 + u_2 ]_x \le 0$ und aus $\lim\limits_{x \to b} [u_1]_x r(x)^2=0$ endg\"ultig:
\be
[w u_1 + u_2 ]_b = 0 \quad \Leftrightarrow  \quad w = m(b)
\ee
Wir halten auch noch fest, da\ss{} wegen (\ref{stmost})
\be
\label{nichtnull}
[u]_c=0 \quad \Leftrightarrow \quad [u]_d \ne 0 \qquad \forall  c,d \in [a,b] \; c \ne d
\ee
f\"ur alle $u \ne 0$ in $\aceli$ mit $\tau u = z \, u$ gilt. Wir haben somit den folgenden
Satz bewiesen:
\bs
\label{wlos}
Es existiert zumindest eine Weyl--L\"osung. Alle Weyl--L\"osungen lassen sich mit
$u_{1,2}$ aus (\ref{weyllos}) bis auf ein komplexes Vielfaches in der Form
\be
u_b= w u_1 + u_2  \qquad \mb{mit } |w-m(b)| = r(b)
\ee
schreiben. Es gilt
\be
\int_c^b |u_b|^2 \, dt = -[u_b]_c = - \frac{\im(w)}{\im(z)}
\ee
und daher $u_b \in \lz(c,b)$. $u_b$ kann nie $[u_b]_a=0$ erf\"ullen. Analog f\"ur $a$.
\es
Folgerungen: Aus (\ref{nichtnull}) folgt insbesondere, da\ss{} $u_b(x) \ne 0$ und $u'_b(x) \ne
0$ f\"ur alle $x \in (a,b)$ gilt. Analog f\"ur $a$. Schreiben wir zwei Weyl--L\"osungen
$u_a$ bzw. $u_b$ bei $a$ bzw. $b$ in der Form
\beas
u_a &=& w u_1 + u_2  \qquad \mb{mit } |w-m(a)| = r(a)\\
u_b &=& \hat{w} u_1 + u_2  \qquad \mb{mit } |\hat{w}-m(b)| = r(b)
\eeas
so folgt: $W(u_a,u_b)= w - \hat{w} \ne 0$ (sonst w\"are $[u_a]_b=[u_b]_a=0$).


\section{Selbstadjungierte Operatoren}


Wir legen $z \in \C \backslash \R$ fest und w\"ahlen zwei Weyl--L\"osungen $u_{a,b}$ bei
$a,b$ mit $W(u_b,u_a)$=1. Aus Satz \ref{slosinh} folgt, da\ss{} bei festem $g \in \lzi \subset
\lei_{loc}(I)$ alle L\"osungen $f$ von \be
\tau f - z \, f = g \qquad f \in \aceli 
\ee
in folgender Form geschrieben werden k\"onnen ($\alpha,\beta \in \C$):
\bea
\label{form}
f(x) &=& u_b(x) \Big(\alpha + \int_a^x u_a(t) g(t) \, dt \Big ) + u_a(x) \Big(\beta + \int_x^b
u_b(t) g(t) \, dt \Big ) \\
\label{ablform}
f'(x) &=& u'_b(x) \Big(\alpha + \int_a^x u_a(t) g(t) \, dt \Big ) + u'_a(x) \Big(\beta + \int_x^b
u_b(t) g(t) \, dt \Big )
\eea
Um $f$ eindeutig zu machen, legen wir einfach $\alpha=\beta=0$ fest, und erkl\"aren den
Operator:
\be
(\rz g)(x) = u_b(x) \int_a^x u_a(t) g(t) \, dt+ u_a(x) \int_x^b u_b(t) g(t) \, dt
\ee
mit Definitionsbereich:
\be
\db(\rz) = \lz_0(I)
\ee
Wir fassen ihn als Resolvente eines durch $\tau$ erzeugten Operators auf und untersuchen
daher $\ran(\rz)$. Es gilt zumindest $\rz g \in \db(\tau)$ und $(\tau  - z) \rz g =g$ f\"ur alle
$g \in \lz_0(I)$. Wir k\"onnen daher einen Operator $\ot_z$ definieren:
\be
\ot_z : \ba[t]{ccc} \ran(\rz) &\to& \lzi \\ f &\mapsto& \tau f \ea
\ee
F\"ur $g_{1,2} \in \lz_0(I)$ gibt es ein kompaktes Intervall $[c,d] \subset I$ mit
$g_{1,2}(x)=0$ f\"ur $x \not\in [c,d]$. Deshalb gilt f\"ur alle $x<c$:
\be
(\rz g_{1,2})(x) = u_a(x) \int_c^b u_b(t) g_{1,2}(t) \, dt \\
\ee
Und wegen $W(\ol{u_a},u_a)_a=0$ folgt daraus (mit (\ref{form}) und (\ref{ablform})):
\be
W(\ol{\rz g_1},\rz g_2)_a = 0 \quad \forall g_{1,2} \in \lz_0(I)
\ee
Analog zeigt man das Verschwinden von $W(\ol{\rz g_1},\rz g_2)_b$. Ein Blick auf
(\ref{liov}) zeigt nun, da\ss{} $\ot$ symmetrisch ist. Und da $\ran(\ot_z-z) =
\db(\rz) = \lz_0(I)$ dicht ist, ist zumindest ein Defekindex von $\ot_z$ null.
Wir werden als n\"achstes $\ran(\ol{\rz}) \equiv \db(\ol{\ot_z})$
berechnen (\cite{wd} Kapitel 5, Folgerung 6). Da $\rz$ ein beschr\"ankter
Carlemanoperator ist, gilt
$\db(\ol{\rz})=\lzi$ und $\ol{\rz}$ ist durch die gleiche Bildungsvorschrift gegeben
(\cite{wd} Satz 6.13). Es gilt also f\"ur alle $g \in \lzi$:
\be
(\ol{\rz} g)(x) = u_b(x) \int_a^x u_a(t) g(t) \, dt+ u_a(x) \int_x^b u_b(t) g(t) \, dt
\ee
Wir zeigen nun:
\be
\ba{rl} \db(\ol{\ot_z}) = \{ f \in \lzi |  & f \in \aceli ; \tau f \in \lzi \\ & W(u_a,f)_a=0
\mb{ falls GKF bei $a$}\\ & W(u_b,f)_b=0 \mb{ falls GKF bei $b$} \} \ea
\ee
Wir bezeichnen den obigen Raum zun\"achst mit $\db$. Es ist nun $\db=\ran(\ol{\rz})$ zu
zeigen. $\ran(\ol{\rz}) \subset \db$ ist einfach, denn es gilt $\ran(\ol{\rz}) \subset
\db(\tau)$ und f\"ur den GKF folgt nach elementarer Rechnung (beachte (\ref{form}) und
(\ref{ablform})): $W(u_a,\ol{\rz} g)_a = W(u_b,\ol{\rz} g)_b =0$. Es fehlt noch die
Umkehrung $\db \subset \ran(\ol{\rz})$. Aus $f \in \db$ folgt $g=(\tau -z)f \in \lzi
\subset \lei_{loc}(I)$. Das hei\ss{} t aber, $f$ ist in der Form
\be
f = \alpha u_b + \beta u_a + \ol{\rz} g
\ee
darstellbar (Satz \ref{slosinh}). Liegt bei $a$ der GPF vor, so ist $u_b \not\in \lz(a,c)$
(sonst w\"are $[u_b]_a=0$). Also mu\ss{} $\alpha=0$ gelten, da $f, u_a , \ol{\rz} g \in
\lz(a,c)$ gilt. Liegt bei $a$ der GKF vor, so ist $W(u_a,f)_a= \alpha$. Es mu\ss{} also in
beiden F\"allen $\alpha=0$ gelten. Analog folgt $\beta=0$ und damit die Behauptung.\\
Es sind also nur im GKF zus\"atzliche Randbedingungen notwendig. Bevor wir unsere
Ergebnisse in einem Satz zusammenfassen, wollen wir noch eine allgemeinere Form der
Randbedingung herleiten:
\bl
\label{lemrand}
Sei $v \in \db(\tau)$ mit $W(\ol{v},v)_a=0$ und es gibt ein $\hat{f} \in \db(\tau)$
mit $W(\ol{v},\hat{f})_a \ne 0$.\footnote{Bei $a$ liegt dann der GKF vor.} Dann gilt
\be
\label{konj}
W(v,f)_a=0 \quad \Leftrightarrow \quad W(v,\ol{f})_a=0 \qquad
\forall f \in \db(\tau)
\ee
und
\be
\label{trans}
W(v,f)_a=W(v,g)_a=0 \quad \Rightarrow \quad W(\ol{g},f)_a=0 \qquad
\forall f,g \in \db(\tau)
\ee
\el
\bb
F\"ur alle $f_1,\dots,f_4 \in \db(\tau)$ gilt die Pl\"uckersche Identit\"at:
\beas
0 &=& \frac{1}{2} p^2(x) \det \left| \ba{cccc}  f_1 & f_2 & f_3 & f_4 \\ f'_1 & f'_2 & f'_3 &
f'_4 \\ f_1 & f_2 & f_3 & f_4 \\ f'_1 & f'_2 & f'_3 & f'_4 \ea \right| (x) \\ &=&
W(f_1,f_2)_x W(f_3,f_4)_x + W(f_1,f_3)_x W(f_4,f_2)_x + W(f_1,f_4)_x W(f_2,f_3)_x
\eeas
Ihre G\"ultigkeit bleibt beim Grenz\"ubergang $x \to a$ erhalten, da alle Grenzwerte
existieren. W\"ahlen wir $f_1=v, \, f_2=f, \, f_3=\ol{v}, \,
f_4=\hat{f}$ so folgt (\ref{konj}). W\"ahlen wir $f_1=f, \, f_2=\ol{g}, \, f_3=v, \,
f_4=\hat{f}$ so folgt (\ref{trans}). 
\eb
Gleichung (\ref{konj}) besagt,  da\ss $\db(\ol{\ot_z})$ (und damit $\ol{\ot_z}$)
invariant unter komplexer Konjugation ist. Somit m\"ussen beide Defektindizes gleich
null sein und $\ol{\ot_z}$ ist selbstadjungiert. Wir haben also den folgenden Satz
bewiesen:
\bs
\label{selbstadj}
Liegt bei $a$ der GKF vor, so sei eine Funktion $v \in \db(\tau)$ mit $W(\ol{v},v)_a=0$ und 
$W(v,f)_a \ne 0$ f\"ur zumindest ein $f \in \db(\tau)$ gegeben. Liegt bei $b$ der GKF vor,
so sei eine analoge Funktion $w$ gegeben. Dann ist der Operator 
\be
\ot : \ba[t]{ccc} \db(\ot) &\to& \lzi \\ f &\mapsto& \tau f \ea
\ee
mit
\be
\ba{rl} \db(\ot) = \{ f \in \lzi |  & f \in \aceli ; \tau f \in \lzi \\ & W(v,f)_a=0
\mb{ falls GKF bei $a$}\\ & W(w,f)_b=0 \mb{ falls GKF bei $b$} \} \ea
\ee
selbstadjungiert. Seine Resolvente $\rz(\ot)$ ist f\"ur $z \in \C \backslash \R$ durch
\be
(\rz g)(x) = u_b(x) \int_a^x u_a(t) g(t) \, dt+ u_a(x) \int_x^b u_b(t) g(t) \, dt
\ee
gegeben, und zwar mit Weyl--L\"osungen $u_{a,b}$, die $W(u_b,u_a)=1$ und, falls der GKF
bei $a,b$ vorliegt, $W(v,u_a)_a=W(w,u_b)_b=0$ erf\"ullen.
\es
Anmerkungen: Ist $z \in \rho(\ot)$ (und $\im(z)=0$), so bleibt
die Formel f\"ur die Resolvente g\"ultig, wenn L\"osungen von (\ref{hom}) mit
$u_a \in \lz(a,c)$ bzw. $u_b \in \lz(c,b)$ gefunden werden k\"onnen. Dies ist
insbesondere im GKF m\"oglich.\\
Das Punktspektrum ist aufgrund der (getrennten) Randbedingungen einfach. Das Spektrum
ist insgesamt h\"ochstens zweifach (\cite{ne} Paragraph 21.2 Folgerung 1).
\bs
\label{hsop}
Liegt an beiden Endpunkten der GKF vor, so ist die Resolvente $\rz(\ot)$ ein
Hilbert--Schmidt--Operator.
\es
\bb
Dies folgt aus der Absch\"atzung:
\bd
\int\limits_a^b \Big[ \int\limits_a^x | u_b(x) u_a(t) |^2 dt + \int\limits_x^b | u_b(t) u_a(x)
|^2 dt \Big] dx \le 2  \int\limits_a^b | u_a(t) |^2 dt \int\limits_a^b | u_b(s) |^2 ds
\ed
\eb
\bk
Daraus folgt, da\ss{} in diesem Fall das Spektrum rein diskret und einfach ist.
\be
\sigma(\ot) = \sigma_{disc}(\ot)
\ee
\ek

\section{Zerlegungsmethode nach Neumark}

Wir wollen noch kurz die sogenannte Zerlegungsmethode beschreiben, da es einen
Zusammenhang mit den $\delta$--Wechselwirkungen gibt:
\bs
\label{zerl}
Sei $\ot$ der selbstadjungierte Differentialoperator aus Satz \ref{selbstadj}. Seien
$\ot_{+,-}$ die folgenden Einschr\"ankungen von $\ot$:
\be
\ba{rl} \db(\ot_-) = \{ f \in \lz(a,c) |  & f \in \acel(a,c) ; \tau f \in \lz(a,c) ; f(c)=0 ;\\ &
W(v,f)_a=0 \mb{ falls GKF bei $a$} \} \ea
\ee
\be
\ba{rl} \db(\ot_+) = \{ f \in \lz(c,b) |  & f \in \acel(c,b) ; \tau f \in \lz(c,b) ; f(c)=0 ; \\ &
W(w,f)_b=0 \mb{ falls GKF bei $b$} \} \ea
\ee
Dann gilt:
\be
\sigma_{ess}(\ot) = \sigma_{ess}(\ot_-) \cup \sigma_{ess}(\ot_+)
\ee
\es
Anmerkungen: Da das wesentliche Spektrum von den Randbedingungen unabh\"angig ist
(\cite{wd} Satz 8.18), kann der Satz entsprechend verallgemeinert werden. Vergleiche
auch \cite{ds} Teil 2,XIII.7 Satz 3 und 4.\\
\bb
Wir betrachten den Operator
\bd
\ot_\infty \simeq \ot_- \oplus \ot_+ \qquad \lz(a,b) \simeq \lz(a,c) \oplus \lz(c,b)
\ed
mit
\bd
(\hat{\tau} f)(x) = (\tau f)(x) \qquad x \ne c
\ed
\bd
\ba{ll}
\db(\ot_\infty) = \{ f \in \lz(a,b) | & f \in
\mb{AC}_{loc}(a,b) \; ; f' \in \mb{AC}_{loc}((a,b) \backslash \{ c \}); \\ & \hat{\tau} f \in
\lz(a,b) ; f(c)=0 ; \\ &W(v,f)_a=0 \mb{ falls GKF bei $a$}\\
&W(w,f)_b=0 \mb{ falls GKF bei $b$}\} \ea
\ed
Das wesentliche Spektrum $\sigma_{ess}(\ot_\infty)$ von $\ot_\infty$
ist offensichtlich durch die Vereinigung von $\sigma_{ess}(\ot_-)$ und
$\sigma_{ess}(\ot_+)$ gegeben, denn es gilt:
\bd
(\ot_\infty - z)^{-1} \simeq (\ot_- - z)^{-1} \oplus (\ot_+ - z)^{-1}
\ed
(vgl. Gleichung \ref{restinf}) Aus einer zu Abschnitt 2.2 analogen Rechnung folgt
weiter, da\ss{} $\ot$ und $\ot_\infty$ eindimensionale Fortsetzungen von $\hat{\ot}$ sind.
\bd
\db(\hat{\ot})= \{ f \in \dbt | f(c)=0 \}
\ed
Damit haben sie aber beide das gleiche wesentliche Spektrum (\cite{wd} Satz 8.18) und
die Behauptung ist bewiesen.
\eb
 
\end{appendix}





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