Mathematica Übungsaufgaben 
	13.6.2005

Beispiel 1

(a)

f[x_] := Sqrt[1 + x^2]
f1[x_] := Evaluate[D[f[x], x]]
f1[x]
Plot[{f[x], f1[x]}, {x, -3, 3}]

Warum Evaluate?

f2[x_] := D[f[x], x]
f2[x]
f2[x]

Aber...

f1[4]
f2[4]

...eine schöne Spielerei

Plot[{f[x], f1[x]}, {x, -3, 3}, 
      PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 0], 
          RGBColor[0, 0, 
            1]}, 
PlotLabel -> "f(x)...rot; \
f'(x)...blau"]

(b)

g[x_] := Sqrt[(1 + x)/(1 - x)]
g1[x_] := Evaluate[Simplify[D[g[x], x]]]
"g(x)=" g[x]
"g'(x)="
 g1[x]

Plot[{g[x], g1[x]}, {x, -1, 1}]

(c)

h[x_] := Sqrt[x + Sqrt[x + Sqrt[x]]]
h'[x]

Simplify[%]

Expand[%%]

Simplify[%]

Plot[{h[x], h'[x]}, {x, 0, 5}]

...und so weiter...

(g), (h)

Warnung: x^x^x=x^(^x^x)≠(x^x)^x

x^x^x == x^(x^x)

x^x^x == (x^x)^x

nützt nichts, aber:

x^x^x == (x^x)^x /. x -> 3

Noch ein Versuch:

Plot[{x^x^x, (x^x)^x}, {x, 0, 1}, 
      PlotStyle -> {RGBColor[0, 1, 0], RGBColor[0, 0, 1]}]

Plot[{x^x^x, (x^x)^x}, {x, 0, 1}, 
      PlotStyle -> {RGBColor[0, 1, 0], RGBColor[0, 0, 1]}, 
      PlotRange -> {0, 1}]

Clear[f, g, h, f1, g1]
f[x_] := x^x^x
g[x_] := (x^x)^x

"f(x)=" f[x]
"f'(x)=" f'[x]
"g(x)=" g[x]
"g'(x)=" g'[x]

Plot[{f[x], f'[x], g[x], g'[x]}, {x, 0, 2}, 
      PlotStyle -> 
{RGBColor[1, 0, 0], 
          RGBColor[ .5, 0 , 0], RGBColor[0, 0 , 1], 
          RGBColor[0, 0 ,  .5]}, 
AspectRatio -> 
        1]

...und so weiter...

(j)

Clear[f]
f[x_] := 
        Input["Give in the Function f(x) to be differentiated:"];
Print[D[f[x], x]]

funcs := {Sqrt[1 + x^2], Sqrt[(1 + x)/(1 - x)], 
        Sqrt[x + Sqrt[x + Sqrt[x]]], Log[1 + x^2], (1 + Exp[x])^2, 
        Log[(1 + x)/(1 - x)], 
        x^x^x, (x^x)^x, (x^3 - 2 x + 5)^7/
          Sqrt[1 + x^4]}

For[i = 1,  
      i ≤ Length[funcs], i++, 
f[x_] = 
        Part[funcs, i]; 
g[x_] = 
        Simplify[
          Expand[D[f[x], x]]]; 
Print["f(x)= ",  
        f[x]]; 
Print["f'(x)= ", 
        g[x]]; 
Plot[{f[x], g[x]}, {x, 0, 3}, 
          PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 0], RGBColor[0, 0, 1]}, 
          PlotLabel -> "f(x)...rot; \
f'(x)...blau"]
Print["----------------------------------\
----------------------"]
]

Beispiel 2

f[x_] := 
      8 x^5 + 5 x^4 + 5 x^3 - x^2 - x + 3
g[x_] := Exp[-1/(1 - x^2)]

fs[x_] := Table[D[f[x], {x, i}], {i, 0, 5}]
gs[x_] := Table[D[g[x], {x, i}], {i, 0, 2}]
colsf := 
      Table[RGBColor[1 - i/5, 0, i/5], {i, 0, 5}]
colsg := Table[RGBColor[1 - i/3, 0, i/5], {i, 0, 3}]

Plot[Evaluate[fs[x]], {x, -5, 5}, 
      AspectRatio -> 1.5, 
PlotStyle -> 
        colsf]

Plot[Evaluate[gs[x]], {x, -1, 1}, 
      AspectRatio -> 2
, 
      PlotStyle -> colsg]

Beispiel 3

Erste Versuche

Limit[n^k/a^n, n -> Infinity]
Limit[n!/a^n, n -> Infinity]
Limit[n!/n^n, n -> Infinity]

(a)

Hat also so nicht funktioniert...
Zuweisung eines Werts an a versuchen...

Limit[n^k/a^n /. a > 1, n -> Infinity]

Limit[Simplify[(a^(-n)) (n^k), a > 1],n->∞]

einzelne werte für a einsetzten

Limit[n^k/2^n, n -> Infinity]

Limit[n^k/1.0000001^n, n -> Infinity]

Allgemein : 
      für n > a gilt auch n^n > 
        a^n und damit
n^k/a^n < n^k/n^n und ...

Limit[n^k/n^n, n -> Infinity]

zu (c)

n^n gewinnt gegen n!

Plot[{n!, n^n, n!/n^n}, {n, 0, 5}, PlotRange -> {0, 15}, 
      PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 0], RGBColor[0, 1, 0], 
          RGBColor[0, 0, 1]}]

For[n = 1, 
      n ≤ 
        10, n++, 
Print[n! < 
            n^n];
]

Beispiel 4

(a), (b)

Sum[1/(n*(n + 1)*(n + 2)), {n, 1, Infinity}]

Sum[n/2^n, {n, 1, Infinity}]

(c)

Sum[I^n/n, {n, 1, Infinity}]

Berechne Realteil und Imaginärteil getrennt

For[n = 1, 
      n ≤ 
        10, n++, 
Print[n, ":Re=", 
          Re[I^n/n], "  IM=", 
          Im[I^n/n]];
]

Sum[(-1)^n/(2*n), {n, 1, Infinity}]

Sum[(-1)^n/(2*n + 1), {n, 0, Infinity}]

(d)

Sum[a^n/n!, {n, 0, Infinity}]

(e)

Sum[1/(n*Log[n]), {n, 2, Infinity}]

also divergent; siehe auch Quotiententest

(f)

a[n_] := n^n/n!
Sum[a[n], {n, 1, Infinity}]

Das ist aber nicht korrekt!!!
Denn konvergent nach Majorantenkriterium oder Quotiententest!

(g)

b[n_] := (n!)^2/((2  n)!)

Sum[b[n], {n, 1, Infinity}]

Mißtrauisch geworden machen zur Sicherheit Quotiententest:

b[n + 1]/b[n]

FullSimplify[%]

Limit[%, n -> Infinity]

Also wirklich konvergent!

(h), (i)

Sum[k/Log[k]^k, {k, 2, Infinity}]

Also Quotiententest:

Limit[((k + 1)*Log[k]^k)/(k*Log[k + 1]^(k + 1)), 
      k -> Infinity]

Also konvergent!

Sum[a^(1/k) - 1, {k, 1, Infinity}]

Divergiert nach Integraltest, denn

Integrate[(Exp[1/x*Log[a]] - 1), {z, 1, Infinity}]

naja besser händisch...